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Corps finis (Remise en ordre)
Bonjour à tous.
J'ai essayé de vous suivre dans votre marche aléatoire vers les corps finis et j'ai fini par m'y perdre. Je vous propose donc une suite de résultats, démontrables avec peu de connaissances et, surtout qui se déduisent les uns des autres. Si vous voulez rédiger des réponses je les lirai avec soin et si vous avez besoin de plus de précicions je suis à votre disposition.
Soient K un corps commutatif et G un sous-groupe fini de cardinal n du groupe multiplicatif K*. Pour chaque diviseur d de n on note cd le nombre d'éléments d'ordre exactement d de G.
a) Montrer que cd=0 ou cd=
(d) (la fonction d'Euler).
b) En utilisant le fait que montrer qu'il existe un élément d'ordre n et donc que G est cyclique.
Où a servi le fait que K est commutatif?
Dans toute la suite p est un nombre premier et n un entier supérieur à 1
Soit L un corps de caractéristique p qui contient toutes les racines du polynôme
de
.
a) Montrer que ces racines forment un sous-corps de L qui a pn éléments et par conséquent que le corps de décomposition de est un corps qui possède pn éléments.
On le note .
b) Soit a un générateur du groupe multiplicatif (qui existe d'après la partie A). Montrer que le polynôme minimal P de a sur
est de degré n et donc que
... et nous venons de démontrer le théorème de l'élément primitif pour les corps finis.
Bonjour Camélia!
:D
est-ce que j'ai le droit de poster meme si je ne suis pas sur de mes réponses?
(seulement pour le B,le A je n'ai pas regardé)
Bonjour,
tiens j'ai une question la-dessus en y repensant, quand dans B tu prends un corps de caractéristique p contenant toutes les racines, comment on peut justifier que ce corps est commutatif.
En général, est-ce que la cloture algébrique d'un corps est commutatif?
En fait je me pose ces questions en rapport avec le théorème de Wedderburn qui dit que tout corps fini est commutatif, mais quand on les construit comme tu fais dans B, est-ce que l'on utilise implicitement le résultat ou non(vu qu'on va utiliser le fait qu'un polynome de degré 2 dans un corps commutatif a au plus n racines)?
Bonjour robby3
Bien sur, le forum est ouvert à tous... J'ai fait ce topic parcequ'il y avait des résultats perdus dans d'autres topics et surtout parcequ'on ne savai plus à partir de quoi on démontrait quoi!
Bon bah j'essayé,je ne garantis rien,j 'y vais sur la pointe des pieds
-Soit a une racine de ,alors
donc cad
donc est un élément d'ordre
,on peut dire que c'est une racine
ieme primitive de l'unité dans
donc
engendre la
ieme extension cyclotomique de
.
Donc l'ensemble des racines de ce polynome constitue une extension de qui possede
éléments.
Ainsi le corps de décomposition de sur
est un corps à
éléments que l'on note
.
disons que voilà ce que j'ai pour a.
Je sens que y'a des trucs pas trés rigoureux il me semble,mais bon,disons que je suis là pour ça
Le problème c'est que "racine pn-1 ième primitive de l'unité dans Fp" n'a pas de sens!
Ici il s'agit vraiment de prouver que les éléments qui vérifient forment un sous-corps!
>Cauchy Je viens seulement de voir ton post et je t'en remercie. Bien sûr tu as raison J'airais du préciser
>robby3 pourquoi est-ce stable pour la somme? qui est q?
Rien! C'est pourquoi il faut l'ajouter dans les hypothèses. Le polynôme X2+1 a bien toutes ses racines dans H (quaternions) et il en a même un peu trop!
pour B a),je vois pas trop,
en revanche pour B b),je pense faire la chose suivante:
Par hypothese, (groupe cyclique d'ordre
).
Donc a engendre l'extension de
puisque tout élément non nul de
est une puissance de
.
Donc
avec le polynome minimal de
sur
.
D'ou est irréductible et de degré
.
?
Oui d'accord Camelia, mais il y a un truc qui me gêne, mettons que je veuille construire F_q de la même manière que tu le fais en B comme l'ensemble des racines de X^q-X.
Donc je prend une extension de F_p où ce polynome est scindé, nécessairement il aura q racines?
Enfin dans ton exemple de H ok, mais H c'est pas la cloture algébrique d'un corps commutatif.
En fait j'avais lu la démo que tu donnes dans le bouquin de Serre, et il prend une cloture algébrique de F_p et affirme que le polynome a exactement q racines.
Il y a un autre truc qui me chiffone, c'est quand on construit les corps finis d'une autre manière en trouvant un polynome irréductible de degré n dans F_p, on construit F_q=F_p[X]/(P) donc ça entraine que F_q est commutatif et on montre que tous les corps finis sont de cette forme. En fait je vois pas trop où on utilise le théorème de Wedderburn.
>Cauchy Dans ce topic je ne me sers ni de la cloture ni de Wedderburn. Justement ces derniers jours c'est devenu totalement incompréhensible (même pour moi).
Dans l'absolu: pour les corps finis tu peux regarder ici 
A propos des corps finis comment je finis par récupérer la cloture.
Pour le cas général, même si on n'impose pas la commutativité de la cloture (est-tu sûr que ce n'est pas le cas?) on la récupère puisqu'elle se présente comme limite inductive de corps commutatifs. J'avoue n'avoir jamais entendu parler de la cloture d'un corps non-commutatif.
>robby3 Oui, c'est un groupe additif, pour la multiplication c'est facile, il te reste à justifier que ce corps a bien pn éléments.
Oui je n'ai pas dit que tu t'en servais, je voulais des éclaircissements la-dessus, notamment pour savoir si la cloture algébrique d'un corps commutatif etait commutative.
A partir de la, si on construit les corps finis comme cela, on les obtient donc comme éléments d'un corps commutatif(la cloture) donc ca nous donne un corps commutatif. Et je vois pas bien en fait l'intéret de Wedderburn, intervient-il dans la démo qui montre que tous les corps finis sont de cette forme?
il te reste à justifier que ce corps a bien pn éléments.
>c'est le cardinal du groupe non?
Non, Wedderburn, n'a rien à voir avec les constructions faites ici. Il affirme simplement qu'il n'y a pas ailleurs des corps finis non commutatifs. Si tu veux, on pourrait faire une superbe théorie très complète des groupes abéliens, sans jamais s'apercevoir qu'il y a aussi des non abéliens.
Pardon, robby je répondais à Cauchy.
Pour toi il reste un problème. On s'est placé dans L, corps commutatif contenant toutes les racines du polynôme. Tu viens de montrer que les-dites racines forment un sous-corps. Mais comment sais-tu combien il y en a?
Oui j'ai bien compris, mais si on construit des corps finis commutatifs comme on a fait et qu'on montre que tout corps fini est isomorphe à l'un de ceux la, ceci impliquera que tout corps fini est commutatif sans utiliser Wedderburn.
Il y a bien un théorème qui dit que tout corps fini est de la forme: corps de décomposition de X^p^n-X.
Non, je n'ai construit que les corps finis commutatifs puisque, comme tu me l'as si bien fait remarquer, j'ai supposé que je plongeais dans un corps commutatif. Quand au nombre de racines d'un polynôme de degré k il n'est majoré par k que dans le cas commutatif! Donc je n'ai pas court-circuité Wedderburn.
Ok c'est plus clair il y avait un truc qui me genait, bouh je l'aime pas ce Wedderburn, il me pousserait presque à faire des EDP
Pour toi il reste un problème. On s'est placé dans L, corps commutatif contenant toutes les racines du polynôme. Tu viens de montrer que les-dites racines forment un sous-corps. Mais comment sais-tu combien il y en a?
>C'est un sous-corps de
non?
C'est vrai que Wedderburn n'est pas très agréable... je n'ai jamais trouvé une dem qui me plaise vraiment. mais je le préfère quand même aux EDP! 
Bonjour tout le monde,
je l'aime pas ce Wedderburn
D'autant plus que c'est pas lui qui l'a démontré, il n'a fait que le conjecturer.
Deux bonnes raisons de pas l'aimer donc!
>robby Je fais construire la chose à la main. Je ne sais pas encore combien de racines a le polynôme. C'est seulement quand je saurai qu'il y en a bien pn que je pourrais utiliser les arguments sur la dimension.
>Ayoub Bienvenue au club...
Je fais construire la chose à la main. Je ne sais pas encore combien de racines a le polynôme.
>je ne vois donc pas...et c'est le seul truc qui me manque pour cloturer cet exercice.
Je fais une pause je reviendrais un peu plus tard.
Pour le corps de décomposition je pense que je peux faire.
Si quelqu'un voit comment "compter" les racines!
(je suis sur que ça a un rapport avec les groupes cycliques
)
Bon à tout à l'heure si tu es encore là sinon trés certainement à demain(pour ma part
)
Merci Camélia d'avoir proposer cet exercice
Sinon pour la partie [A], je me lance:
1) Soit d|n.
Si n'est pas nul, ya un élément d'ordre d; on l'appelle x0. Le sous groupe qu'il engendre est d'ordre d et est manifestement unique. (Quelque soit l'élément qu'on prend, on retombe tôt ou tard sur x0).
2) Suffit de considérer P(X)=X^n-1. Il a au plus n racines (car k est commutatif ).
Or, on remarque que .(1) On en déduit que pour tout d|n,
. (en fait on a forcément
supérieur ou égale à phi(d) et (1) empêche qu'elle soit stricte).
On conclut donc.
>Ayoub
Le sous groupe qu'il engendre est d'ordre d et est manifestement unique
Pourquoi? A prioiri dans un groupe il peut exister plusieurs sous-groupes cycliques du même ordre.
Bonjour,
je signale au passage qu'il existe une preuve (à mon sens) plus naturelle du lemme de l'elt primitif pour les corps fini basé sur le lemme élémentaire suivant
Dans G groupe abélien, si l'on se donne a et b deux éléments d'ordre m et n il existe alors x un élément d'ordre ppcm(m,n).
Les groupes c'est trop loin pour moi.
J'ai trop de mal avec le vocabulaire (cyclique, multpiplicatif,...).
Je fait la B]
je passe sur le 1.
le 2.
puisque est une extension finie, que
est un corps fini, il existe
(justement le générateur) telle que
.
mais .
on a aussi donc le résultat
>robby3 le polynôme en question a au plus pn racines (c'est ici qu'on utilise le fait que le corps est commutatif). Le seul problème pourrait venir d'éventuelles racines multiples. Or sa dérivée est -1 (ne pas oublier la caractéristique p) donc toutes ses racines sont simples; il y en a bien pn.
>H_aldnoer OK! C'est bien l'idée.
>Rodrigo Comment tu fais?
Donc maintenant faut que je montre que le corps de déocmposition de X^{p^n}-X est un corps à p^n éléments.
Pour cela,j'utilise le theoreme suivant:
Un corps,fini,de caractéristique ,est de cardinal
ssi si
est le corps de décomposition sur
de
donc en fait le sous corps engendré par les racines est le corps de décomposition du polynome.
ok?
Mais non, maintenant tu as fini. Le corps formé par toutes les racines est évidemment le plus petit corps qui les contient toutes donc c'est bien le corps de décomposition. Et on vient de voir qu'il a pn éléments.
C'est le miracle des corps finis que le corps de décomposition soit juste formé des racines et seulement des racines.
Dans le cas d'un corps de base infini, comme un polynôme n'a qu'un nombre fini de racines, dans toute extension il y a des tas d'éléments qui ne sont pas des racines.
En admettant mon lemme tu prends G un groupe fini d'unités d'un corps, soit n son ordre, et soit m le ppcm des ordres des elements de G. Par le lemme il existe un element d'ordre m. Donc m|n, si l'on avait m<n, alors le polynome X^m-1 qui admet pour racines tous les elements de G aurait n racines soit plus que son degré et ceci n'est pas possible dans un corps donc m=n. Donc il existe danbs G un élément d'ordre n et par suite G est cyclique.
Reste à prouver le dit lemme...il suffit d'abord de traiter le cas ou les ordre de a (noté n) et b (noté m) sont premiers entre eux alors ab est bien do'rdre nm. Si ils ne sont pas premier entre eux, on examine la decomposition en nombres premiers de n et m et on bidouille...
Le corps de décomposition de est une extension
telle que
est scindé dans
est
où
sont les racines de
.
Il faut montrer que ?
je rappelle un peu,on amontré que les racines du polynome formaient un sous-corps de
à
éléments.
J'appelle ce dernier .
est bien fini donc de caractéristique
et a
éléments,par le théoreme cité ci-dessus,j'en déduis que c'est le corps de décomposition du polynome
.
j'utilise => du theoreme.
je le montre ici:
On a de caractéristique
de cardinal
.
Donc est une extension de
disons de degré
.
Le polynome admet exactement
racines distinctes d'aprés Camélia(14:40),ces racines sont dans le corps de décomposition du polynome sur
.
Ce sont donc les éléments de
,d'ou
est le corps de décomposition de
sur
(avec
)
Sauf erreur
>Rodrigo Joli!
>H_aldnoer C'est plus simple que ça. Oublie les résultats généraux et fais ce qui est indiqué... Puis comme ce n'est pas blanké, tu peux lire ce qui précède.
J'ai jamais montré en fait que est le corps de décomposition de
avec les résultats généraux.
Je sais qu'un élément est dans ssi il est racine de
; puis je montre qu'il y a exactement
éléments dans
. Je ne sais pas si cela suffit à conclure que
est le corps de décomposition de
.
Oui effectivement.
Lorsque je montre qu'il y a p^n éléments dans , je montre aussi :
(Fermat)
est un sous-corps de
et donc ça suffit ?
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