Soit (X,Y) un couple aléatoire de densité :
f(x,y) = 8xy pour (x,y) appartenant à T
0   sinon

où T est le triangle de sommets (0,0), (0,1) et (1,1) qui peut également être défini par {(x,y) tel que x0, y1, yx}

1) Déterminer la densité marginale de X, celle de Y. Calculer les espérances et variances de X et de Y.
2) X et Y sont-elles indépendantes ?
3) Déterminer la loi conditionnelle de Y sachant X=x, puis celle de X sachant Y=y.
Calculer E(X|Y=y). En déduire E(X).

Bonjour, j'ai été très intéresée par ce problème et j'ai essayé de le résoudre. J'aimerais savoir si tout est juste pour savoir si je suis au point. Merci beaucoup.

densité marginale de X : f(x)=4x(1-x²) x[0,1]
densité marginale de Y : g(y)=4y^3 y [0,1]

espérance de X : E(X)=8/15 et E(X²)1/3
variance de X : V(X)= 11/225
espérance de Y : E(Y)= 4/5 et E(Y²)=2/3
variance de y : V(Y)=2/75

pour l'indépendance on vérifie seulment que f(x,y)f(x)*g(y)

loi conditionnelle de Y sachant X=x --> 2y/(1-x²) avec x[0,1] et y[x,1]
loi conditionnelle de X sachant Y=y --> 2x/y² avec y[0,1] et x[0,y]

enfin l'espérance de X sachant Y=y --> 2/3y avec y[0,1]


merci d'avance pour la correction