Annuler
connectez vous
probabilités en post-bac
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Décomposition des matrices en blocs, exponentielle de matrices - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
couples de variables aleatoires !
Posté par Chii
Bonjour,
Voila j'ai un exercice sur le chapitre couples de variables aléatoires mais j'ai énormément de mal à comprendre ce chapitre ...
On dispose de deux pièces. Pour chaque pièce, la probabilité d'obtenir Pile
à chaque
lancer vaut p, et celle d'obtenir Face vaut q, avec 0 < p < 1 et q = 1 - p. Deux joueurs J1 et J2 prennent chacun une pièce
et réalisent l'expérience qui consiste à lancer sa pièce jusqu'à obtenir pour la première fois Pile. On note X1 la nombre
aléatoire de lancers effectués par J1 et X2 le nombre aléatoire de lancers effectués par J2.
Calculer la probabilité de l'évènement (X1 = X2), puis de l'évènement (X1
>= X2).
Alors j'hésite ;
J'ai fais calculé la somme de P([X1=k]*[X2=k]) et je trouve p²*1/q²*1/(2p+p²)
Est ce la bonne démarche ?
Ensuite Pour P(X1 >=X2) J'ai calculé P([X1>=j]*[X2=<j])
Bonne démarche ou complètement à coté de la plaque ?
Pour le premier calcul, la démarche me semble bonne, mais je ne trouve pas le même résultat (j'ai fait rapidement, donc ça ne prouve rien)
Par contre, pour le second, certes les événements [X1>=j] et [X2=<j] sont indépendants donc tu peux calculer P([X1>=j]*[X2=<j]), mais par contre tu ne peux pas sommer les P([X1>=j]*[X2=<j]) car si tu considère l'événement X1=4 et X2=2 par exemple il appartient à plusieurs événements [X1>=j]*[X2=<j] (pour j=2,3,4) qui ne sont donc pas disjoints...
OK (désolé, je n'avais pas la définition en tête d'un système complet dévénement). En fait P([X1=j]*[X2<=j]) forment un système complet d'événements pour [X2<=X1], mais pas les P([X1>=j]*[X2<=j])...
J'aurais plus tendance à dire que les [X1=j] forme un système complet d'événements. Donc d'apres la formule des probabilités totales
P([X1=X2]) = P([X1=j])*P([X2=<j] sachant P([X1=j])
Euh oui des j variant entre 1 et k !
Dernière petite question ( j'espere ) ensuite je m'attaque aux calculs qui m'attendent.
Pour T=max(X1,X2)
On calcul P(X1 =< k) qu'on élève au carré
Puis P(T=k) = P(T=<k)-P(T=< k-1) ?
Ca me paraît OK (je n'y avais pas pensé)
J'avais pensé à (plusieurs formulations)
P(T=k)
= P(X1=k)P(X2<k)+P(X1=k)P(X2=k)+P(X1<k)P(X2=k)
= P(X1=k)P(X2<=k)+P(X1<k)P(X2=k)
= P(X1=k)P(X2<k)+P(X1<=k)P(X2=k)
Finalement, je suis perdue ...
Pour calculer P(X1 >= X2), j'utilise le système complet d'événement P(X= j) avec j variant sur N*
Or je suis bloquée pour retranscrire la somme ..
On aurait normalement P(X1=j) * P(X2 =< j) sachant P(X1=j)
Or les évènements sont dépendant et Pour P(X2 =< j) je ne vois comment l'insérer dans la somme a coté de P(X1 =j).
Une somme de somme peut être ?
P(X1>=X2) = 
P(X1=j)*(P(X2=< j) sachant (X1=j))
(somme sur j)
mais les variables aléatoires X1 et X2 sont indépendantes donc
P(X2=< j) sachant (X1=j)
= P([X2=<j]*[X1=j])/P([X1=j])
= P([X2=<j])P([X1=j])/P([X1=j])
= P([X2=<j])
Donc P(X1>=X2) = P(X1=j)*P(X2=<j)