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Donc regarde, pour avoir la pente de ta droite (droite tangente à la courbe, et donc qui se confond avec la courbe quand on zoom sur le point), tu regardes la chose suivante : quand tu "avances" de 1 carreau sur l'axe horizontale, de combien "montes" tu verticalement ?
Ok.
(je sais que tu demandes où ça va nous mener, mais tu vas bientôt comprendre).
Maintenant, on sait que la fonction f est :
Peux-tu me donner sa dérivée ?
Ne t'occupe plus de la courbe, on s'occupe de la droite qui se confond à la courbe quand on zoom.
C'est à dire à LA PARTIE DE LA COURBE DE f QUI EST QUASI IDEN§TIQUE A LA DROITE.
DONC :
Je récapitule.
On a une courbe f.
On voit que le point de coorodonnées (-2,0) appartient à la courbe, et on zoom.
On voit que plus on grossit, et plus la courbe se colle à la droite.
Si on continue au microscope, la courbe dans cette toute petite partie sera égale à la droite.
Et cette droite à une pente de 5 (car quand on fait 1 sur l'axe horiszontal, on monte de 5.
On est d'accord jusque là ?
5 est une pente de la tangente ==> Non.
5 est LA pente de LA tangente à f au point d'abscisse x=-2 (lequel bien évidement appartient à la courbe).
Voilà.
Donc, le coefficient directeur de ta droite, tangente en ce point à ta courbe, correspond à la dérivée de ta fonction en ce point.
Ce qui veut dire que lorsqu'on a zoommer sur la courbe, la pente de la courbe était identique à la pente de la droite tangente à la courbe en ce point.
Est-ce plus clair ?
OuiATTENTION :
Le coefficient directeur de f'(-2) est 5 ==> ce n'est pas correct.
Ce qui est correct, c'est : Le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse x=-2 et égal à 5.
Lequel correspond au taux d'accroissement au point de cette courbe donné par f'(-2)=5
Maintenant, tu comprends bien qu'il y a une infinité de tangentes à cette courbe.
Et bien, chaque pente de chaque tangente sera donnée par f'(x). Il suffira de prendre l'abscisse au point considéré pour avoir la pente.
Ainsi, en x=-1 tu auras une pente de 3 ==> f'(-1)=3
En x=0 tu auras une pente de 1 ==> f'(0)= 1
comprendo ?
0
Elle sera horizontale car son coefficient directeur est nul.
Et "une droite horizontale a toujours un coefficient directeut nul"
0
Elle sera horizontale car son coefficient directeur est nul. ==>
Et voilà.
Ce qui veut dire que là où la dérivée s'annule, la pente de la tangente est égale à 0.
Donc pour trouver le sommet (point haut ou point bas) d'une courbe, on ragarde là où sa dérivée s'annule puisque la droite tangente en ce point (zoomé) aura une pente égale à 0
Je te parle de la forme de l'expression de toutes les droites.
Un droite, quelle qu'elle soit, s'écrit sous la forme y=ax+b où a et b sont 2 réels.
C'est du cours.
Ah ...
Ce n'est pas grave.
Le coefficeint directeur (donc la pentte) d'une droite d'équation y=ax+b, c'est a.
Donc pour une droite d'équation y=5x+2, sa pente sera égale à 5.
Pour une droite d'équation y=-x+3, sa pente sera égale à -1.
Donc comprends-tu que le coefficient directeur (la pente) de ta tangente (qui elle est une droite) en un point de la courbe correspond à l'accroissement (à la pente) de ta courbe en ce même point ?
Donc si :
- par rapport à une droite donné (on connait donc son coefficeint directeur, donc sa pente
- on a une courbe qui passe dessous, cela voudra dire que l'accroissement de la courbe est inférieure à la pente de la droite (c'est pas très très rigoureux ce que je dis là mais si ça permet de mieux saisir la chose)
Ok ?
Comme par exemple ici.(la pente de la droite est ici égale à 3)
Avant x=1, on a une courbe dont l'accroissement est supérieur à la pente de la droite.
En x=1, on a une courbe dont l'accroissement est égal (en ce point uniquement) à la pente de la droite.
Après x=1, on a une courbe qui dont l'accroissement est inférieur à la pente de la droite.
Revenons à notre exercice de départ:
Si j'applique tout ce que j'ai compris on doit retrouver ceci:
La fonction f est définie sur [0 ; 30] par f(t)=- t^3+15t²
f(5)= -5^3+15×5²=-125+375=250
La fonction f est définie sur [0 ; 30] par f(t)=-t^3+15t²
Sa fonction dérivée est définie sur [0 ; 30] par f'(t)=-3t²+15×2t
Par suite, f'(10)=-3×10²+15×2×10=-3×100+15×20=-300+300=0
Le nombre dérivé de f en 10 est 0.
0 est la pente de la tangente à f, 0 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe c au point d'abscisse 10.
Soit la droite de la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées.
f'(5)=-3×5²+15×2×5=-3×25+15×10=-75+150=75
b) L'équation de T, tangente à C au point d'abscisse 5, est f(t)-f(5)=f^' (5)(t-5)⇔y=75t⇔y-250=-75(t-5)⇔y-250=75t+375⇔y=75t+125
5)
a) La position de la courbe C sur l'intervalle [0 ; 15] est au dessus de sa tangente T.
Erreur de frappe, je recommence:
Revenons à notre exercice de départ:
Si j'applique tout ce que j'ai compris on doit retrouver ceci:
La fonction f est définie sur [0 ; 30] par f(t)=- t^3+15t²
f(5)= -5^3+15×5²=-125+375=250
La fonction f est définie sur [0 ; 30] par f(t)=-t^3+15t²
Sa fonction dérivée est définie sur [0 ; 30] par f'(t)=-3t²+15×2t
Par suite, f'(10)=-3×10²+15×2×10=-3×100+15×20=-300+300=0
Le nombre dérivé de f en 10 est 0.
0 est la pente de la tangente à f, 0 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe c au point d'abscisse 10.
Soit la droite de la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées car son abscisse est 10 et la droite a pour équation x=10
f'(5)=-3×5²+15×2×5=-3×25+15×10=-75+150=75
75 est la pente de la tangente à f au point d'abscisse x=5
75 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 5.
L'équation de T, tangente à C au point d'abscisse 5, est f(t)-f(5)=f^' (5)(t-5)⇔y=75t⇔y-250=-75(t-5)⇔y-250=75t+375⇔y=75t+125
La position de la courbe C sur l'intervalle [0 ; 15] est au dessus de sa tangente T.
On constate graphiquement que la courbe C est au dessus de sa tangente.
Le coefficient directeur de la tangente est 75
On constat que f(t) croît pour t appartenant à l'intervalle [0;5] et l'on constate que pour tout point de la courbe dont l'abscisse appartient à cet intervalle, la courbe C est au dessus de sa tangente. Donc la courbe croit plus vite que la tangente.
Nous admettrons qu'alors la vitesse de progression de la maladie augmente avant le 5ème jour.
Donc avant t=5, la croissance de chaque jour est plus importante que la veille.
f(t) croît pour t appartenant à l'intervalle [5;15] et que l'on constate que pour tout point de la courbe dont l'abscisse appartient à cet intervalle, la courbe C serait au dessous de sa tangente.
Nous admettrons qu'alors la vitesse de progression de la maladie diminue après le 5ème jour.
Donc après t=5, la croissance de chaque jour est moins importante que la veille.
Mais la courbe continue de croître car il y a toujours plus de malades.
il faut arriver à t=10 pour que la courbe C décroît.
f(t) est maximal pour t=10, et f'(10)=500
Nous admettrons que la vitesse de progression de la maladie est alors maximale.
Mais lorsque j'ai retracé la tangente T, j'ai constaté qu'elle est au dessus de la courbe C sur [11.5;15]. Qu'en pensez vous? Est-ce necessaire de l'admettre?
Et le graphique
Tangente verte: y=75t+125
Tangente bleue:y=10
Droite rouge: nombre de malade inférieur à 20% de son maximum.
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