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courbe et pourcentage
Bonsoir
J'ai un problème avec les pourcentages (je bloque toujours même en apprenant la règle de 3), pourriez-vous m'aider, s'il vous plait?
Voici l'énoncé:
Une épidémie a frappé les habitants d'une ville.
La courbe, notée C , représente le nombre de personnes malades en fonction du temps t exprimé en jours dans la ville. J'ai joint une image mais elle est de très basse qualité, comment faire?
1)Sur quel intervalle de temps le nombre de malades est il inférieur à 20 % de son maximum ? (Son maximum est t=500 dans le graphique)
Le nombre de personnes malades en fonction du temps t, exprimé en jours, peut être modélisé par la fonction f, définie et dérivable
sur [0 ; 30], d'expression : f (t ) = −t 3 +15t².
2)a) Calculer f '(5).
b) Déterminer une équation de T, tangente à C au point d'abscisse 5, puis tracer T sur le graphique.
3)a) Déterminer graphiquement la position de C par rapport à sa tangente T sur l'intervalle [0 ; 15].
b) Comparer alors la vitesse de progression de la maladie avant le cinquième jour et après le cinquième jour.
J'ai réussi pour la 2)a) et b):
f'(5)=-3×5²+15×2×5=-3×25+15×10=-75+150=75
3) a) La courbe est en dessus de la tangente T
Mais je n'ai pas compris la b). Par où commence avant et après le 5ème jour?
Nojiko
Re-bonjour,
Voici ta courbe.
20% du maximum correspond à 20% de 500, soit :
Tu traces donc ta droite à y=100 (voir figure), et tu en conclus ...
Bonjour Léo
Ah j'ai compris
20% de 500 c'est 100 malades en trois jours puisque x=3 pour y=100
Ensuite sa descent un peu plus loin, pour x=14.5 soit 14 jours et demi.
Regardez dans mon graphique :
[14,5;15]
Oui c'est cela.
Donc en fait sur un intervalle de temps de 3,5 jours (3+0,5) on aura 20% du maximum atteint.
Pardon, je rectifie par rapport à mon post de 11:11, ce sera plus juste.
Donc en fait sur un intervalle de temps de 3,5 jours (3+0,5) on sera inférieur à 20% du maximum que l'on peut atteindre.
D'accord, je comprends
Mais ne vous inquiètez pas, j'ai déjà calculé f'(5), c'est une dérivée. La dérivée de cette fonction f (t ) = −t^3 +15t² c'est f'(t)=-3t²+15*2t
Et donc je remets ma réponse ici:
f'(5)=-3×5²+15×2×5=-3×25+15×10=-75+150=75
Et j'ai déjà tracé T, elle est en dessous de sa courbe
Je veux dire, la courbe C est au dessus de sa tangente.
Mais c'est pour la 3) b), je ne vois pas pourquoi il faut regader la différence entre avant et après le 5ème jour exactement?
b) Comparer alors la vitesse de progression de la maladie avant le cinquième jour et après le cinquième jour.
Nojiko
Bonsoir
Je pense que Léo doit être occupé.
Quelqu'un d'autre peut m'expliquer juste pour cette question : Comparer alors la vitesse de progression de la maladie avant le cinquième jour et après le cinquième jour.
Nojiko
Ma question de mon post de 11:16 était loin d'être anodine ...
Savoir y répondre te permettrait de voir probablement plus clairement le sens de la question 3)b).
Re-bonjour Jasmine,
Et non justement. 
f'(5) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point x=5.
Que f'(5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point x=5 ?
Moi, pour trouver le coefficient directeur je fais:
on calcule le coefficient directeur de la droite m à l'aide de sa définition :
m= différence des ordonnées de deux points de la droite / différence des abscisses de ces deux mêmes points.
Et vous comment avez vous fait?
Ah alors cela doit correspondre à ça dans mon cours:
On appelle nombre dérivé de f en a, le coefficient directeur de la tangente (s'il existe) à la courbe C au point A.
Ce nombre dérivé de f en a est noté f '(a ) .
Et ça va m'aider pour la dernière question?
Je t'expliquerai pourquoi tout à l'heure si tu veux.
Pour l'instant il faut faire ton problème.
As-tu fait la 2)b) ?
Oui je l'ai faite:
L'équation de T, tangente à C au point d'abscisse 5 non parallèle à l'axe des ordonnées est de la forme y=mx+p
Je ne sais pas si c'est une bonne remarque mais la tangente T coupe la courbe C en un point (2;50)
Que la tangente soit de la forme y=mx+p , c'est normal puisque c'est la forme de l'équation d'une droite.
Mais la réponse, ce n'est pas cela.
L'équation d'une tangente à une courbe en un point x0 est donnée par l'expression :
f(x)-f(x0)=f'(x0)*(x-x0)
Je crois avoir compris, je vous site mon cours pour savoir si je suis sur la bonne voix:
" Équation réduite d'une tangente
Pour justifier certaines propriétés d'une tangente à une courbe, il peut être utile de connaître l'équation réduite de cette tangente.
Soit A un point d'abscisse a de la représentation graphique C d'une fonction usuelle f.
On sait que f '(a ) (s'il existe) est le coefficient directeur de la tangente T au point A à la courbe C .
La tangente T au point d'abscisse a de la courbe C a donc une équation réduite de la forme
y =f '(a )t +p
La valeur de p peut être obtenue en écrivant que le point A (a ; f (a )) appartient à la tangente T.
Exemple
C est la représentation graphique de la fonction définie sur l'intervalle [0,5 ; 4] par f(t )= 1/ t
L'équation réduite de T est donc de la forme :
y = −0,25t +p.
Comme A (2 ; 0,5) appartient à T, alors y A = −0,25tA +p
Donc 0,5 = −0,25× 2+p soit p = 0,5+ 2× 0,25 = 1.
L'équation réduite de T est donc y = −0,25t "
Ici, on sait que f'(5) est le coefficient directeur de la tangente T au point x=5 à la courbe C.
La représentation est définie sur l'intervalle [0;5] mais on ne connais pas la fonction.
Elle doit être de la forme y=f'(x)t+p comme dans le cours.
Qu'en pensez-vous?
Sinon pour répondre à ceci:
L'équation d'une tangente à une courbe en un point x0 est donnée par l'expression :
f(x)-f(x0)=f'(x0)*(x-x0)
f(x) c'est quoi? Ce n'est pas f(t) ?
f(x0) =5
f'(x0) = 75
Est-ce que f'(75) est le coefficient directeur de la courbe C ?
L'équation doit être de la forme y=5t+p
Tu te mélanges un petit peu , mais tu t'approches.
Permettes-tu que je t'expliques avec un petit exemple ?
Désolé pour le temps, j'ai eu un souci de connexion.
Regarde cette courbe, c'est celle de la fonction g telle que :
Vois-tu comment trouver la tangente à la courbe en x=1 ?
x=1 est l'ordonnée de la courbe d'abscisse 1 soit du point g(1)=3
Car, g(1)= -1^3 +3*1²+1= -1+3+1= 3
Pourquoi? tout est faux?
Ne pas confondre tangente et courbe.
On a g(1)=3, donc la courbe passe par le point de coordonnées (1,3).
Maintenant, on cherche l'équation de la tangente à la courbe de g en ce point.
La méthode est donc la suivante, sachant que la courbe passe par le point (1,3)=(1,g(1))
et qu'on recherche l'équation de la tangente en ce point.
donc
et donc
L'équation de la tangente est donc :
Excusez moi de mettre si longtemps à répondre, mais j'essaie de vous suivre en même temps que mon cours.
On a jamais appris cette méthode, quel est son titre exactement?
Moi j'ai trouvé y=-9x, comment avee-vous fait pour trouver aussi +28 ?
Regardez:
g(3)= -3^3+3*3²+1= -27+ 3*9+1= -27+27=1
g'(3)=-3(3²)+6(3)= -3*9+18= -27+18= -9
g(x)-g(3)= g'(3)(x-3) y=-9x
Où est mon erreur?
Je serais très étonné que tu ne l'aies pas vu.
Un "truc" du genre :
surtout en parlant du "nombre dérivé" ...
Pour le reste :
On a bien g(3)=1
et g'(3)=-9
C'est après que tu commets une erreur :
g(x)-g(3)= g'(3)(x-3)y=-9x ==> Faux
g(x)-g(3)= g'(3)(x-3)y-1=-9(x-3)y-1=-9x+27
J'ai cherché partout dans mon cours de cette année et de l'année dernière mais je n'ai pas trouvé...j'ai même cherché dans l'île maths aussi mais il n'y a rien.
Ah mais peut être que le coefficient directeur peut se calculer d'une autre façon qu'on a présenté dans mon cours.
La dernière chose que j'ai c'est celle de tout à l'heure:
Équation réduite d'une tangente
Pour justifier certaines propriétés d'une tangente à une courbe, il peut être utile de connaître l'équation réduite de cette tangente.
Soit A un point d'abscisse a de la représentation graphique C d'une fonction usuelle f.
On sait que f '(a ) (s'il existe) est le coefficient directeur de la tangente T au point A à la courbe C .
La tangente T au point d'abscisse a de la courbe C a donc une équation réduite de la forme
y =f '(a )t +p
La valeur de p peut être obtenue en écrivant que le point A (a ; f (a )) appartient à la tangente T.
Exemple
C est la représentation graphique de la fonction définie sur l'intervalle [0,5 ; 4] par f(t )= 1/ t
L'équation réduite de T est donc de la forme :
y = −0,25t +p.
Comme A (2 ; 0,5) appartient à T, alors y A = −0,25tA +pDonc 0,5 = −0,25× 2+p soit p = 0,5+ 2× 0,25 = 1.
L'équation réduite de T est donc y = −0,25t "
Sinon revenons à votre réponse:
L'équation d'une tangente à une courbe en un point x0 est donnée par l'expression :
f(x)-f(x0)=f'(x0)*(x-x0)
et
y-f(5)=f'(5)*(x-5)
y-250=75(x-5)y=75x-125
Ah donc si j'ai tout bien compris vos explications il fallait faire:
f(5)=-5^3+15*5²=-125+375=250
f'(5)=-3*5²+15*2*5=-3*25+15*10=-75+150=75
f(t)-f(5)=f'(5)(t-5)
y=75xy-250=75(t-5)y-250=75t+375y=75t+125
Ah mais vous savez, je ne sais pas si j'ai le droit d'utiliser cette méthode. Si le professeur ne l'accepptera pas, comment vais-je faire?
Pour faire la méthode du cours il faut des points comme A ou B. Mais moi je n'ai pas ces points là.
Sinon merci beaucoup j'ai très bien compris à présent.
Euh mais je n'ai toujours pas compris pour la dernière question.
Comment distingué avant le 5ème jour et après le 5ème jour? Par où doit-on commencer?
Je crois qu'il doit y avoir un rapport avec les précédentes questions.
Avant le 5ème jour, la vitesse de progression de la maladie est de 75 malades
Après le 5ème jour, la vitesse de progression de la maladie est de 250 malades
Mais si on fais f(5)=75*5+125=500, et 500 c'est le maximum de malades que l'on peut atteindre
J'ai tout essayer mais je ne vois pas.
Et "taux d'accroissement", tu n'as jamais entendu parlé ?
Voici un lien où j'explique quelques éléments sur la dérivée, cela va peut-être t'éclairer.
https://www.ilemaths.net/sujet-notions-incomprises-derivees-avant-de-commencer-les-exos-400511.html
Ah je vous remercie infiniment Léo!
C'est vraiment un très bon cours! Vous devez être un professeur de mathématiques?
Biensûr pour comprendre le cours, il faut avoir appris le tableau du nombre dérivé et fonctions de références.
Je l'ai mis dans mes topics favoris.
Et je crois que j'ai compris la dernière question, le taux d'accroissement doit s'agir de la varitation de la courbe dans mon cours.
Voici ce que j'ai fait:
On constate graphiquement que la courbe C est au dessus de sa tangente.
Le coefficient directeur de la tangente est 75
On constat que f(t) semble croître pour t appartenant à l'intervalle [0;5] et l'on pourrait constater que pour tout point de la courbe dont l'abscisse appartient à cet intervalle, la courbe C serait au dessus de sa tangente.
Nous admettrons qu'alors la vitesse de progression de la maladie augmente avant le 5ème jour.
f'(t) semble décroître pour t appartenant à l'intervalle [5;15] et que l'on pourrait constater que pour tout point de la courbe dont l'abscisse appartient à cet intervalle, la courbe C serait au dessous de sa tangente.
Nous admettrons qu'alors la vitesse de progression de la maladie diminue après le 5ème jour.
f(t) semble être maximal pour t=5, et f'(5)=500
Nous admettrons que la vitesse de progression de la maladie est alors maximale.
Qu'en pensez-vous?
Bonjour Jasmine,
C'est vraiment un très bon cours! ==> merci
Vous devez être un professeur de mathématiques? ==> Non Jasmine, je ne suis pas Professeur. Mais j'aime les maths.
Qu'en pensez-vous? ==> je pense que tu te débrouilles très bien, car tu semble méthodique et que tu cherches vraiement à comprendre, à aller au fond des choses.
C'est bien.
Pour notre exercice.
On constate graphiquement que la courbe C est au dessus de sa tangente. Le coefficient directeur de la tangente est 75 ==> oui
On constat que f(t) semble croître ==> elle croît, elle ne fait pas que "sembler" pour t appartenant à l'intervalle [0;5] et l'on pourrait constater que pour tout point de la courbe dont l'abscisse appartient à cet intervalle, la courbe C serait au dessus de sa tangente.==> c'est cela qui est important, la courbe est au-dessus, donc la courbe "croit plus vite" que la tangente.
Nous admettrons qu'alors la vitesse de progression de la maladie augmente avant le 5ème jour. ==>
Oui, c'est bien la vitesse de croissance qui augmente et sur laquelle il faut se pencher, et non pas sur la courbe (qui elle croît aussi en l'occurence)
f'(t) semble décroître pour t appartenant à l'intervalle [5;15] ==> tu veux dire f(t) et non pas f'(t). Ceci dit f ne décroît pas. Mais par contre la courbe sera sous la tangente. C'est donc sa vitesse de croissance qui diminue. Donc avant x=5, la croissance chaque jour est plus importante que la veille (la courbe est au-dessus de la tangente). Passé le seuil des 5 jours, la croissance sera moins importante le lendemain que le jour même (la courbe sera au-dessous cette fois de la tangente). Mais ATTENTION, la courbe elle continue de croitre, car effectivement, il y a toujours plus de malade. N'oublions pas que c'est une fonction qui répertorie le nombre de malade en fonction du temps. Le coefficient directeur de ta courbe indiquera en quelque sorte la vitesse de propagation de la maladie. Et c'est cette vitesse qui croit avant les 5 jours, puis décroit ensuite. La courbe, elle, elle continue de croitre, puisque le nombre de malades augmentent.
Il faut arriver à x = 10 (à peu près) , donc au somment, pour que ta courbe décroit.
Comprends-tu ?
Donc :
Nous admettrons qu'alors la vitesse de progression de la maladie diminue après le 5ème jour. ==> oui, la vitesse.
f(t) semble être maximal pour t=5, et f'(5)=500 ==> non. f(t) sera maximal pour x
10 sommet de la courbe.
Léo
Jasmine,
Pour illustrer mes propos :
- en bleue, la courbe du nombre de malades en fonction du temps : de plus en plus de malades jusqu'à x=10 où le nombre de malades diminue
- en rouge, la courbe représentant la viotesse de propagation de la maladie. Elle reste positive jusqu'à x=5 (donc au-dessus de l'axe des x), puis devient négative ensuite.
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