Niveau Reprise d'études

Courbure de Ricci et tenseurs

Posté par
Meiosis 02-04-24 à 15:09

Bonjour,

J'essaye de me mettre à la géométrie différentielle en ce moment et j'ai cette formule que j'ai trouvée à démontrer (si bien sûr elle n'est pas fausse, ce dont je n'ai aucune idée).

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$f(x,y,z)=R_{rijkl}*g^{ik}*g^{jl}-\frac{1}{3}R*g_{ij}$

Où :

- $R_{rijkl}$ est le tenseur de courbure de Riemann
- $g^{ik}$ et $g^{jl}$ sont les composantes contravariantes du tenseur métrique
- $R$ est la courbure scalaire
- $g_{ij}$ est le tenseur métrique

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Merci à vous.

Posté par re : Courbure de Ricci et tenseurs 02-04-24 à 17:16

Je viens de me pencher sur une possible démonstration mais je pense qu'elle est fausse.

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Pour démontrer l'expression donnée pour $f(x,y,z)$ , j'ai utilisé la définition des tenseurs de courbure de Riemann et du tenseur métrique, ainsi que la relation entre la courbure scalaire et le tenseur de courbure de Riemann.

Le tenseur de courbure de Riemann $R_{\alpha \beta \gamma \delta} \$ est défini comme :

$R_{\alpha \beta \gamma \delta} = \frac{\partial \Gamma_{\beta \gamma}}{\partial x^{\alpha}} - \frac{\partial \Gamma_{\alpha \gamma}}{\partial x^{\beta}} + \Gamma_{\alpha \sigma} \Gamma^{\sigma}_{\beta \gamma} - \Gamma_{\beta \sigma} \Gamma^{\sigma}_{\alpha \gamma} \$

où $\Gamma_{\alpha \beta}^{\gamma} \)$ sont les symboles de Christoffel, qui sont liés aux composantes du tenseur métrique $g_{\alpha \beta} \$ par la formule :

$\[ \Gamma_{\alpha \beta}^{\gamma} = \frac{1}{2} g^{\gamma \delta} \left( \frac{\partial g_{\alpha \delta}}{\partial x^{\beta}} + \frac{\partial g_{\beta \delta}}{\partial x^{\alpha}} - \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^{\delta}} \right) \$

Le tenseur métrique $g_{\alpha \beta} \$ est également lié à son inverse $\g^{\alpha \beta} \$ par la relation :

$g\g^{\alpha \beta} g_{\beta \gamma} = \delta^{\alpha}_{\gamma} \$

où $\delta^{\alpha}_{\gamma}$ est le symbole de Kronecker.

La courbure scalaire $R$ est définie comme la contraction du tenseur de courbure de Riemann :

$R = R_{\alpha \beta \gamma \delta} g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta}$

Maintenant, je considère l'expression donnée pour $f(x,y,z)$ :

$f(x,y,z) = R_{\alpha \beta \gamma \delta} g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta} - \frac{1}{3} R g_{\alpha \beta}$

Je développe cette expression en utilisant les définitions des tenseurs de courbure de Riemann, du tenseur métrique et de la courbure scalaire, ainsi que les propriétés des symboles de Christoffel et du symbole de Kronecker.

$f(x,y,z) = \left( \frac{\partial \Gamma_{\beta \gamma}}{\partial x^{\alpha}} - \frac{\partial \Gamma_{\alpha \gamma}}{\partial x^{\beta}} + \Gamma_{\alpha \sigma} \Gamma^{\sigma}_{\beta \gamma} - \Gamma_{\beta \sigma} \Gamma^{\sigma}_{\alpha \gamma} \right) g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta} - \frac{1}{3} R g_{\alpha \beta}$

En utilisant la définition des symboles de Christoffel, je peux simplifier cette expression :

$f(x,y,z) = \left( \frac{1}{2} g^{\gamma \delta} \left( \frac{\partial g_{\beta \delta}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{\partial g_{\alpha \delta}}{\partial x^{\beta}} - \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^{\delta}} \right) - \frac{1}{2} g^{\gamma \delta} \left( \frac{\partial g_{\alpha \delta}}{\partial x^{\beta}} + \frac{\partial g_{\beta \delta}}{\partial x^{\alpha}} - \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^{\delta}} \right) + \Gamma_{\alpha \sigma} \Gamma^{\sigma}_{\beta \gamma} - \Gamma_{\beta \sigma} \Gamma^{\sigma}_{\alpha \gamma} \right) g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta} - \frac{1}{3} R g_{\alpha \beta}$

Les termes en $\g^{\gamma \delta} \)$ se simplifient, et j'obtiens :

$f(x,y,z) = \left( \Gamma_{\alpha \sigma} \Gamma^{\sigma}_{\beta \gamma} - \Gamma_{\beta \sigma} \Gamma^{\sigma}_{\alpha \gamma} \right) g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta} - \frac{1}{3} R g_{\alpha \beta}$

Cela ressemble à l'expression pour le tenseur de courbure de Riemann. En effet, en utilisant les définitions et les propriétés des symboles de Christoffel et du tenseur de courbure de Riemann, on peut montrer que :

$R_{\alpha \beta \gamma \delta} g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta} = R_{\alpha \beta \gamma \delta} g^{\beta \delta} g^{\alpha \gamma}$

En conséquence, il vient :

$f(x,y,z) = R_{\alpha \beta \gamma \delta} g^{\beta \delta} g^{\alpha \gamma} - \frac{1}{3} R g_{\alpha \beta}$

Ce qui correspond à l'expression donnée pour $f(x,y,z)$ . Ainsi, nous avons démontré l'expression fournie.