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De la dimension finie et des endomorphismes

Posté par
ChazyChaz 04-04-09 à 19:06

Bonjour à tous.
Voilà un méchant endomorphisme qui me fait des misères :

E désigne un espace vectoriel de dimension 4, on considère f un endomorphisme de E tel que f o f = -id_e.

Pour 4$\theta \in \mathbb{R}, on note 4$ g_\theta l'endomorphisme 4$ g_\theta = cos\theta id_e + sin\theta f.

1/ J'ai montré que l'application 4$\Psi : \theta -> g_\theta était un morphisme de groupe de 4$ \mathbb{R} muni de l'addition usuelle dans l'ensemble des automorphismes de E, muni de la composition, ie que g_\theta + g_\theta ' = g_{\theta o \theta'} .

2/ Soit u \in Vect(ide,f) , montrer qu'il existe \lambda \in \mathbb{R}_+ et \theta \in \mathbb{R} tel que u = \lambda g_\theta.

C'est sur cette question que je bloque, j'ai un problème avec le lambda, car si u appartient à l'espace vectoriel engendré par ide et f, alors u = a*ide +b*f, et il faudrait montrer que a*ide + b*f = 4$ g_\theta = cos\theta id_e + sin\theta f, ce qui pose deux valeurs pour lambda, en identifiant ...

Une piste que j'ai exploré en vain est de poser ide = 1, et de poser f = i (le nombre complexe), car alors on aurait 4$ g_\theta = exp(i\theta), ce qui est censé simplifier les calculs, hélas pour moi, cela les copmplique ! :s.

Merci d'avance à tous ceux qui prendront la peine de se pencher sur mon cas !

Posté par
Tigweg Correcteurre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 19:27

Bonsoir ChazyChaz,

très intéressant ton exercice!

1) Petite bêtise, il faut plutôt prouver que 5$\displaystyle\blue\fbox{ g_{\theta + \theta^ '} \;=\; g_{\theta o \theta^'}} .



2) Pose 5$\displaystyle\blue a+ib\;=\;\lambda(cos\theta+i.sin\theta),\;\;\lambda=\sqrt{a^2+b^2}\ge 0

, et le tour est joué!

Posté par
Tigweg Correcteurre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 19:29

Pourrais-tu poster la suite des questions, s'il-te-plaît? J'aimerais connaître le fin mot de cette affaire!

Posté par
ChazyChazre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 19:32

Bonsoir !

Désolé pour la petite erreur pour l'endomorphisme g, mais c'est rectifié, en tout cas merci pour l'expression de lambda !

Posté par
Tigweg Correcteurre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 19:33

Je t'en prie! J'attends la suite des questions avec impatience!

Posté par
Tigweg Correcteurre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 19:37

D'ailleurs je m'aperçois que je n'ai pas bien rectifié ta bêtise à la question 1, il faut évidemment prouver que 5$\displaystyle\blue\fbox{ g_{\theta + \theta^ '} \;=\; g_{\theta} \;o \;g_{\theta^'}} .

Posté par
ChazyChazre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 19:42

Quand y'en a plus, y'en a encore Tigweg ! :d

3/ L'application Psi est-elle injective ? (petit calcul du ker bien sur)

4/ Soit 4$ \theta \in \mathbb{R} \4$ { 2k\pi; k \in \mathbb{Z}} (lire theta appartenant à IR privé des 2kpi, pour k appartenant à Z).

Montrer que 4$ g_\theta - ide  est un automophisme.

5/ Pour n \in \mathbb{N}, n \ge 2, on note 4$ \Phi_n = g_{\frac{2 \pi}{n}} , déterminer 4$ (\Phi_n)^n.

6/ Déduire des questions précédentes que 4$\Bigsum_{k=0}^{n-1}~\Phi ^k = 0_{L(E)}.


Voila, je n'ai pas traité spécifiquement ces questions, je les regarderai ce soir, mais si tu as des coses à proposer, n'hésite pas !
Merci

Posté par
Tigweg Correcteurre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 19:44

Génial, merci!

PS:pour taper des accolades en LaTeX, mets un slash devant: il faut taper \{

Posté par
Tigweg Correcteurre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 20:28

OK, la suite est facile, dis-mi si tu as besoin d'indications.

Posté par
ChazyChazre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 20:43

Un pitit peu d'aide s'impose :p.

Pour calculer ,le ker, je me retrouve avec un truc incohérent, theta = - arctan(f), à mon avis il y a un gros problème :s.

Sinon, pour montrer que g - ide est un automorphisme, je voudrais montrer que c'est inversible, mais je peine à sortir une formule de l'inverse (peut être faut-il s'y prendre autrement que de vouloir sortir comme ca un inverse ), puis pour Phi n composée n fois avec elle même, j'ai trouvé que cela valait ide, mais je ne vois pas comment on pourrais se servir de cela pour pouvoir mettre à terre la dernière question , puisqu'on a pas une formule claire pour phi, peut être faut-il raisonner par récurrence ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 21:02

Citation :
theta = - arctan(f), à mon avis il y a un gros problème :s.
-> en effet!

Il suffit d'observer que les 4$\displaystyle\blue \Psi est 3$\displaystyle 2\pi- périodique, donc non injective...


Pour montrer que 4$\displaystyle\blue g-Id_E est un automorphisme, il suffit de prouver que son noyau est nul.

Ecris que 4$\displaystyle\blue x est dans le noyau si et seulement si 4$\displaystyle\blue x.cos\theta+f(x)sin\theta=x , puis regroupe tout à gauche, compose par f de chaque côté, utilise 4$\displaystyle\blue f^2=-id_E , multiplie respectivement la première et la seconde égalités par 4$\displaystyle\blue cos\theta\;et\;sin\theta , mélange le tout, puis déduis-en, d'après les hypothèses sur 4$\displaystyle\blue\theta que 4$\displaystyle\blue x=0 .

Enfin, pour la dernière question, utilise une astuce de type "somme des termes d'une suite géométrique" en remplaçant le dénominateur de la fraction qu'on obtient dans le cas usuel par l'inverse de 4$\displaystyle\blue Id_E-\Phi , petite astuce très classique qui fonctionne très bien!

Posté par
ChazyChazre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 21:11

Ok merci de ces réponses, je vais regarder ca et je te dis quoi demain !

Posté par
Tigweg Correcteurre : De la dimension finie et des endomorphismes 04-04-09 à 21:32

Je t'en prie!

Posté par
ChazyChazre : De la dimension finie et des endomorphismes 05-04-09 à 17:11

Une petite précision.

En utilisant la somme des termes d'une suite géométrique, on tombe sur 4$\Bigsum_{n=0}^{n-1}~\Psi^k = \Psi^0 \times  4$\frac{ide-\Psi^n}{ide-\Psi}.

Mais comment montrer que le numérateur vaut 0 ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : De la dimension finie et des endomorphismes 05-04-09 à 19:00

Ouh là méfie-toi un peu tout de même! Que veut dire une division par un endomorphisme??

Je t'ai bien dit qu'il y avait une analogie entre les formules, pas une identité!

Ce que tu as écrit deviendra vrai à condition de remplacer ta division par une composition par l'inverse de Id_E - Psi, après avoir dit pourquoi cette dernière était inversible.

Mais tu dois commencer par prouver que c'est bien vrai!

Pour cela, tu peux par exemple calculer ce que fait (Id_E - Psi) composée avec le membre de gauche.

Enfin pour conclure que le membre de droite est nul, utilise le résultat de la question 5.

Posté par
Tigweg Correcteurre : De la dimension finie et des endomorphismes 05-04-09 à 19:03

De plus, ce ne serait pas plutôt Phi_n à la place de Psi dans ton dernier message?

Posté par
ChazyChazre : De la dimension finie et des endomorphismes 05-04-09 à 19:34

En effet, c'est Phi et non Psi... désolé pour ce lapsus, et merci de ton aide , je vais travailler ca :p

Posté par
Tigweg Correcteurre : De la dimension finie et des endomorphismes 05-04-09 à 19:37

PAs de quoi! C'ewt bien (Phi_n)k à chaque fois dans le membre de gauche?


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