Bonjour à tous.
Voilà un méchant endomorphisme qui me fait des misères :
E désigne un espace vectoriel de dimension 4, on considère f un endomorphisme de E tel que .
Pour , on note l'endomorphisme .
1/ J'ai montré que l'application était un morphisme de groupe de muni de l'addition usuelle dans l'ensemble des automorphismes de E, muni de la composition, ie que .
2/ Soit , montrer qu'il existe et tel que .
C'est sur cette question que je bloque, j'ai un problème avec le lambda, car si u appartient à l'espace vectoriel engendré par ide et f, alors u = a*ide +b*f, et il faudrait montrer que a*ide + b*f = , ce qui pose deux valeurs pour lambda, en identifiant ...
Une piste que j'ai exploré en vain est de poser ide = 1, et de poser f = i (le nombre complexe), car alors on aurait , ce qui est censé simplifier les calculs, hélas pour moi, cela les copmplique ! :s.
Merci d'avance à tous ceux qui prendront la peine de se pencher sur mon cas !
Bonsoir ChazyChaz,
très intéressant ton exercice!
1) Petite bêtise, il faut plutôt prouver que .
2) Pose
, et le tour est joué!
Pourrais-tu poster la suite des questions, s'il-te-plaît? J'aimerais connaître le fin mot de cette affaire!
Bonsoir !
Désolé pour la petite erreur pour l'endomorphisme g, mais c'est rectifié, en tout cas merci pour l'expression de lambda !
D'ailleurs je m'aperçois que je n'ai pas bien rectifié ta bêtise à la question 1, il faut évidemment prouver que .
Quand y'en a plus, y'en a encore Tigweg ! :d
3/ L'application Psi est-elle injective ? (petit calcul du ker bien sur)
4/ Soit \ (lire theta appartenant à IR privé des 2kpi, pour k appartenant à Z).
Montrer que est un automophisme.
5/ Pour , on note , déterminer .
6/ Déduire des questions précédentes que .
Voila, je n'ai pas traité spécifiquement ces questions, je les regarderai ce soir, mais si tu as des coses à proposer, n'hésite pas !
Merci
Un pitit peu d'aide s'impose :p.
Pour calculer ,le ker, je me retrouve avec un truc incohérent, theta = - arctan(f), à mon avis il y a un gros problème :s.
Sinon, pour montrer que g - ide est un automorphisme, je voudrais montrer que c'est inversible, mais je peine à sortir une formule de l'inverse (peut être faut-il s'y prendre autrement que de vouloir sortir comme ca un inverse ), puis pour Phi n composée n fois avec elle même, j'ai trouvé que cela valait ide, mais je ne vois pas comment on pourrais se servir de cela pour pouvoir mettre à terre la dernière question , puisqu'on a pas une formule claire pour phi, peut être faut-il raisonner par récurrence ?
Une petite précision.
En utilisant la somme des termes d'une suite géométrique, on tombe sur .
Mais comment montrer que le numérateur vaut 0 ?
Ouh là méfie-toi un peu tout de même! Que veut dire une division par un endomorphisme??
Je t'ai bien dit qu'il y avait une analogie entre les formules, pas une identité!
Ce que tu as écrit deviendra vrai à condition de remplacer ta division par une composition par l'inverse de Id_E - Psi, après avoir dit pourquoi cette dernière était inversible.
Mais tu dois commencer par prouver que c'est bien vrai!
Pour cela, tu peux par exemple calculer ce que fait (Id_E - Psi) composée avec le membre de gauche.
Enfin pour conclure que le membre de droite est nul, utilise le résultat de la question 5.
En effet, c'est Phi et non Psi... désolé pour ce lapsus, et merci de ton aide , je vais travailler ca :p
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