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Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle

Posté par
kevin59 20-09-09 à 21:58

Bonjour à tous,

Je viens de reprendre les cours et je suis un peu rouillé. J'ai donc besoin de votre aide !

Voilà je dois décomposer en éléments simples sur R la fraction suivante :

(4x²-4)/(x²-1)^4

J'ai commencé par écrire : A/(x²-1) + B/(x²-1)^2 + C/(x²-1)^3 + D/(x²-1)^4 mais je m'aperçois que je suis vite bloqué !

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Merci d'avance

Posté par
lafol Moderateurre : Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnell 20-09-09 à 22:14

Bonjour
pas étonnant que tu sois bloqué : x² - 1 se factorise en (x - 1)(x + 1)

à ta place, j'aurais commencé par simplifier la fraction (il y a x² - 1 en facteur en haut et en bas)

puis : \fr{4}{(x^2-1)^3}=\fr{A}{x-1}+\fr{B}{(x-1)^2}+\fr{C}{(x-1)^3}+\fr{D}{x+1}+\fr{E}{(x+1)^2}+\fr{F}{(x+1)^3}

Posté par
lafol Moderateurre : Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnell 20-09-09 à 22:15

pour la suite, te rappelles tu la division selon les puissances croissantes ?

Posté par
kevin59Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle 21-09-09 à 12:10

Bonjour,

D'abord merci beaucoup, j'avais vu la factorisation par (x-1) mais pas celle avec (x²-1). Par contre je n'ai pas vu la recherche des coefficients par la division selon les puissances croissantes ! Je sais juste qu'on l'utilise pour les pôle d'ordre "élevé" (au moins 3).

Posté par
lafol Moderateurre : Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnell 21-09-09 à 15:42

c'est le cas ici, non ?

je te montre pour un tu feras pour l'autre

tu poses t = x - 1, donc x= t+1, x²-1 = (x-1)(x+1)=t(t+2)
\fr{4}{(x^2-1)^3}=\fr{4}{t^3(t+2)^3}
tu divises alors 4 par (2+t)3 = 8 +12t + 6t² +t3 selon les puissances croissantes jusqu'à ce que tu aies t3 en facteur dans les restes
tu auras un truc genre 4 = (2+t)3(C + Bt + At²) + t3R(t)
tu mets tout ce monde là sur t3(2+t)3:
\fr{4}{t^3(t+2)^3}=\fr{C}{t^3}+\fr{B}{t^2}+\fr{A}{t}+\fr{R(t)}{(2+t)^3}
tu remplaces les t par x - 1, et tu trouves le début de ton développement

Posté par
kevin59Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle 21-09-09 à 19:54


ok merci beaucoup. Par contre, j'ai un souci concernant la division de 4 par 8+12t+6t^2+t^3. En effet, d'abord je multiplie 8 par \frac{1}{2} pour retrouvé le 4, ensuite je trouve -6t-3t^2-\frac{1}{2}t^3. Et je ne sais pas par quoi multiplier 8 pour trouvé -6t ! Je ne vois pas !

Posté par
lafol Moderateurre : Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnell 23-09-09 à 19:38

par -6t/8 alias -3t/4, tiens !

Posté par
kevin59Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle 23-09-09 à 22:48

C'est bon j'ai trouvé A=\frac{3}{4} ; B=-\frac{3}{4} et C=\frac{1}{2}. Ouf j'étais vraiment rouillé !!! Merci beaucoup pour le coup de main. Maintenant je fais la même chose mais pour t=x+1.

Bonne soirée et encore merci !

Posté par
lafol Moderateurre : Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnell 23-09-09 à 22:57

avec plaisir


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