Niveau Maths sup

démonstration cosinus sinus

Posté par
geronimo 652 11-01-10 à 22:19

bonsoir à tous,

j'ai un soucis avec le corrigé d'un exercice... en effet je ne vois pas comment montrer que:

$6$\reverse \opaque sin(\frac{x}{2^n})cos(\frac{x}{2^n})...cos(\frac{x}{2})=\frac{1}{2^n}sinx$

merci d'avance
gero

Posté par re : démonstration cosinus sinus 11-01-10 à 22:35

Bonjour

en utilisant à répétition la propriété sin(a)cos(a) = (1/2)sin(2a) ....

Posté par re : démonstration cosinus sinus 11-01-10 à 22:42

Bonsoir
Ca sent la récurrence tout ça !
En fait il faut utiliser plusieurs fois la formule sin(2x)=2sinxcosx.
Pour n=1 : sin(x/2)cos(x/2)=(1/2)sinx (facile à vérifier)
Soit n, on suppose la propriété vraie pour n
Alors sin(x/2^n+1)cos(x/2^n+1)cos(x/2^n)...cos(x/2)=[sin(x/2^n+1)cos(x/2^n+1)/sin(x/2^n)]sin(x/2^n)cos(x/2^n)...cos(x/2)
=[sin(x/2^n+1)cos(x/2^n+1)/sin(x/2^n)](1/2^n)sinx=...
Je te laisse finir
Attention ,il faut quand même différencier les cas x=0 et x0 car on divise par sin(x/2^n) à un moment.