Niveau Licence Maths 1e ann

démonstration produit cartésien

Posté par
tiboutchou 20-03-09 à 15:40

bonjour,
je recherche une démonstration par récurrence pour le Théorème donnant
Card(AxB)=card(A)xCard(B)
Merci

édit Océane : forum modifié

Posté par re : démonstration produit cartésien 20-03-09 à 15:54

Bonjour

Si tu veux considérer un ou des ensembles vides tu l'écris séparément.
Soit $A=\{1,...,m\}$ avec m > 0 fixé. Récurrence sur le cardinal n de B. Si n=1, il a bijection évidente entre A et $A\times B$ .

Supposons la propriété vraie pour $B=\{1,...,n\}$ et soit $B'=\{1,...,n+1\}$

Alors $A\times B'=A\times B\cup A\times \{n+1\}$ et $A\times B\cap A\times \{n+1\}=\emptyset$
d'où
$card(A\times B')=card (A\times B)+card(A)=m(n+1)$

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