Niveau Maths sup

démonstration trigo

Posté par
zitan 09-10-08 à 23:00

Bonsoir,
j'ai un petit problème concernant la démonstration de la proposition suivante n; cos(n) s'exprime en fonction de cos() seulement.
Vos idées sont les bienvenues.

Posté par re : démonstration trigo 09-10-08 à 23:18

Bonjour, zitan

On peut le démontrer par récurrence: $\cos(n \theta)=P_n(\cos\theta)$

La propriété est vraie pour n=0 et n=1: P_0=1 P_1=X

Supposons la propriété vraie aux rangs n-1 et n. Alors:
$3$ \cos((n-1)\theta)+\cos((n+1)\theta)=2\ \cos\theta\ \cos(n\theta)$
Et on trouve:
$3$ P_{n+1}(X)=2XP_n(X)-P_{n-1}(X)$

Posté par re : démonstration trigo 09-10-08 à 23:21

$3$cos (n\theta)={\mathcal R}e(e^{in\theta})={\mathcal R}e((\cos\theta + i \sin\theta)^n)$

$3$(\cos\theta + i \sin\theta)^n=\Bigsum_{k=0}^nC_n^k(\cos\theta)^{(n-k)}$2i\sin\theta$^k$

seuls les termes "k" pairs contribuent à la partie réelle. (il faut que $i^k$ soit réel)

donc
$3$\array{ccc$ cos (n\theta) & = & \Bigsum_{0\leq 2p \leq n}C_n^{2p}(\cos\theta)^{(n-2p)}$2i\sin\theta$^{2p} \\ & = & \Bigsum_{0\leq 2p \leq n}C_n^{2p}(\cos\theta)^{(n-2p)}$-1)^p(\sin^2\theta$^{p} \\ & = & \Bigsum_{0\leq 2p \leq n}C_n^{2p}(\cos\theta)^{(n-2p)}$-1)^p(1-\cos^2\theta$^{p}$ CQFD