Inscription / Connexion Nouveau Sujet
dérivabilité
bj a tous,j'ai un pb avec un exo concernant la dérivabilité d'une fonction
f(x)=
(1/n^2)e^(-nx^2)
je dois montrer que f est dérivable sur 
pour cela on me propose de chercher le maximum de
u(n)(x)=xe^(-nx^2) sur [0,+
[
je ne comprends pas pourquoi
moi je pensais que je devais montrer que les f'n(x) convergeaient uniformément sur tout compact mais là aussi je bloque
ensuite je dois montrer que f est 2 fois dérivable sur *
quelqu'un peut-il m'aider svp?
merci d'avance
Bonjour
Oui, c'est bien ça. Tu dois montrer que converge uniformément sur tout compact.
Il est clair que pour ce faire les variations de sont utiles!
mais sinon, regardes bien le lien que je t'ai donné : c'est le même exo et il est en train d'être résolu.
Kaiser
oui j'ai vu mais je n'ai pas trop compris comment il font pour montrer que c'est continue sur R.Je n'arrive pas a montrer la convergence uniforme
de f
j'ai fait mes 2 dérivées
pour f'(x)=-2xe^(-nx^2)/n
et u'(n)(x)=e^(-nx^2)-2nx^2e^(-nx^2)
après je bloque
comment montrer le convergence sur tout compact?
on y va doucement :
on commence par montrer la continuité en montrant la convergence uniforme de la série.
ici, on montre mieux : on montre qu'il y a convergence normale. ceci implique la convergence uniforme.
la convergence normale est assurée par le fait que pour tout n, et que la série
converge.
Kaiser
Ensuite, le but étant de montrer la dérivabilité, il suffit de montrer que la série des dérivées converge uniformément sur tout compact. Il parait naturel de commencer à montrer la convergence normale en étudiant la norme infini de chaque dérivée : c'est pour cela que l'on étudie ses variations (donc en étudiant le signe de la dérivée seconde).
Kaiser
en dérivant f je trouve f'(x)=-2xe^(-nx^2)/n
comme ma dérivée est négative ma fonction est décroissantesur ton lien il est écrit que
sup[f'(x)]= 2e(-1/2)/n
2n
je ne comprends pas pourquoi
de plus est-il plus facile d'utiliser u?
je suis perdu.... snif !
tout d'abord, on va appeler et donc ce que tu as calculé est
(et non pas f').
Maintenant, on se calme, on prend une profonde inspiration et on y va !! 
on veut montrer que la série est normalement convergente.
Pour cela, on calcule .
Pour cela, on doit étudier les variations de et ce n'est pas
mais
que l'on étudie.
Commence par faire ceci.
Kaiser
je peux conclure que ma série des f'n converge normalement grace au critère de riemann n'est-ce pas?
la question suivante c'est de montrer que f est 2 fois dérivable sur R*
il faut calculer la dérivée 3ème?
oui, car on a montré la convergence uniforme de la série des dérivées et la convergence simple de la série de départ.
Maintenant, pour montrer que la fonction est deux fois dérivable (sauf en 0), on refait la même chose mais là, la convergence normale ne se fera que loin de 0.
Kaiser
j'ai posté le pb sur la dérivabilité mais je n'arrive pas a le finir ,il ne me reste plus gd chose a faire quelqu'un voudrait-il bien m'aider a la finir svp
*** message déplacé ***
oui, elle s'annule bien en ces 3 points.
Pour le problème du , il faut alors s'intéresser à la convergence normal sur des intervalles loin de 0, par exemple sur les intervalles du type
avec a > 0. Il y aura alors convergence normale sur tout
et donc par parité, sur
.
Kaiser
tout d'abord, j'ai dit une grosse bêtise : la convergence normale sur tous les intervalles du type n'entraine pas la convergence normale sur
mais uniquement le caractère "deux fois dérivables".
est-ce ceci que tu n'as pas compris ?
Kaiser
je récapitule :
on a avec
.
1) On a commencé par montrer la continuité de f sur en montrant qu'il y avait convergence normale (et donc uniforme) sur
.
2) on a voulu montrer que f était dérivable et donc pour cela, il nous suffisait de montrer que la série converge normalement sur
, ce que l'on a fait. Au passage, on a pour tout x réel l'égalité
3) A présent, on veut montrer que f est deux fois dérivable sur , c'est-à-dire que la série
définie une fonction dérivable sur
.
Pour l'instant, est-ce OK ?
Kaiser
maintenant, es-tu d'accord que pour montrer ceci, il suffit de montrer que cette série est normalement convergente sur tout compact inclus dans ?
Kaiser
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac