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Déterminant nul d'une matrice
Ne pouvant me mettre d'accord avec des camarades de promotion, sachant que je débute à peine l'algèbre linéaire, je voudrais soumettre quelques questions.
Soit une matrice carrée quelconque dont ni ligne ni colonne n'est nulle.
Si le déterminant est nul d'une matrice est nul, puis-je alors affirmer :
- qu'il y a une dépendance linéaire entre ses lignes ?
- qu'elle ne peut être mise sous forme diagonale à moins d'admettre des valeurs nulles sur la diagonale ?
- qu'elle ne peut avoir de valeurs propres ?
- qu'elle ne peut être inversée ?
Merci par avance de vos réponses.
OUI, il y a une dépendance linéaire entre ses lignes et elle n'est certainement pas inversible.
Pour la deuxième et la troisième question:
Merci pour vos réponses. Mais je voudrais aller plus loin, car j'ai un peu de mal avec la manipulation des matrices.
Calculer un déterminant n'est pas difficile, il faut simplement être rigoureux pour des matrices carrées de dimension supérieure à 4. Cependant, si on souhaite faire des combinaisons linéaires entre lignes ou colonnes, quel est l'impact que le déterminant ? J'ai fait quelques exemples numériques simples, je ne suis pas convaincu.
Cela dit, toute dépendance linéaire entre lignes annule immédiatement le déterminant. Je suppose que cela est vrai s'il y a une dépendance entre colonnes ?
Maintenant, concernant la matrice diagonale. Mon cours indique qu'une matrice est dite diagonale si tous les termes de la matrices hors ceux de la diagonale directe sont nuls. J'y vois là une ambigüité : le cours semble dire qu'il ne faut pas de valeur nulle dans la diagonale. Cependant, l'exemple donné par Camélia semble contredire ce que je pense...
A propos des valeurs propres, après avoir beaucoup travaillé et recherché sur le net, je viens enfin de comprendre qu'elles sont les solutions du polynôme caractéristique de la matrice. Les valeurs propres donnent apparemment la diagonale de la matrice diagonale... Si oui, dans quel ordre se placent ces valeurs propres ? Si une des valeurs est nulle, alors le polynôme P(x) se factorise par x, cela me paraît trop simple. Je tiens à dire que je pense avoir compris que P(x) = det(A -xI), A étant la matrice et I la matrice dont la diagonale n'a que des 1.
Enfin, je voudrais savoir si une matrice est inversible si son déterminant est nul ?
L'algèbre semble être dur, j'ai intérêt de m'y mettre ! 
Dans le désordre... C'est pareil sur les lignes ou les colonnes, car le déterminant de la transposée est égal au déterminant de la matrice.
Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est NON NUL.
Une matrice diagonale a des zéros ailleurs que sur la diagonale, et ce qu'elle veut sur la diagonale. La matrice nulle (des 0 partout) est diagonale.
Ensuite, ne pas confondre matrice diagonale et matrice diagonalisable! Quand on diagonalise une matrice, l'ordre des valeurs propres ne compte pas, mais une fois choisi un ordre, les matrices de passage dépendent de celui-ci!
Merci ma chère Camélia pour tes réponses claires.
Le déterminant nul implique donc des propriétés très claires : dépendance linéaire et impossibilité d'inverser.
Cependant, une nouvelle question : qu'est-ce que la matrice de passage ? En consultant mon polycopié, je m'aperçois qu'il est question d'une matrice de passage lorsque l'on change de base...
Pourrais-tu m'en dire un peu plus ? A moins qu'il n'y ait une fiche détaillée sur ce site ?
Suffit de demander... 
Réduction des endomorphismes linéaires Il y a tous les résultats mais pas de démonstration!
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