Salut Skops

Tu peux soit poser P(X)=\Bigsum_{k=0}^na_kX^k et écrire en détail l'équation obtenue puis identifier les coefficients de proche en proche, soit résoudre l'équation différentielle y=xy' et ne garder que les solutions polynômiales.

Désolé, j'ai mis en gras a lieu de mettre en Latex!

Salut Skopinou

En écrivant , il vient

et

Puis voir ce qui se passe !

Solutions: l'ensemble des polynômes de la forme

Héhé, j'ai tiré plus vite que Lucky Luke, pour une fois!

Arg, le tigre a bondi plus vite

Lol, on peut dire tourner comme ça aussi!

Mon post est truffé de fautes en plus des a_2 qui se transforment en a2, un X^(n-1) au lieu d'un X^n ... ^^

Ok merci

Ce sont les techniques générales ?

Skops

Lol on devait être aussi fébriles l'un que l'autre à l'idée que l'autre allait peut-être poster plus vite que l'un!!!

D'où mes balises [b ][ /b] et tes petites coquilles!

Skops-> Pas de quoi en ce qui me concerne, et oui à ta dernière question!

Skopinou > oui ici on ne peut pas se servir du degré de P, et vu le manque d'info il est bon de développer.

Greg >

Citation :
Lol on devait être aussi fébriles l'un que l'autre à l'idée que l'autre allait peut-être poster plus vite que l'un!!!

Sauf que là, c'est y=xy', pas y'=xy!

ah effectivement ...

Nan mais je me demandais comment tu tombais pile-poil sur alphaX avec des soluces de l'équa diff en exp(x²/2)

C'est quoi la technique avec le degré ?

Skops

Chuck Norris est l'un de mes amis (_{ou plutôt Chuck Norris fait semblant que Tigweg n'est pas Chuck Norris quand il répond sur l'île en laissant quelques fautes, à dessein!})

Un peu comme ici Polynômes (2)

Ok

Au fait, j'ai posé la question à mon prof : "Quand on a P(X+1), il faut comprendre quoi ? P*(X+1) ou une composition"

Devine ce qu'il m'a répondu

Skops

bonjour

P(X)=XP'(X) donc P(0)=0 donc si P(X)=anX^n+...+a1X+ao alors ao=0

le terme de plus grande puissance anX^n se derivé en nanX^(n-1)
donc le terme de plus grande puissance de XP'(X) est nanX^n
comme P(X)=XP'5X) donc nanX^n=an donc n=1
donc
P(X)=aX

Une composition nan ? ... ça sent le truc de Chuck Norris ..

Il m'a répondu "Il faut comprendre ce qui est bon"

Ouais...

Skops

Je ne sais pas, ça a un rapport avec Chuck Norris?

Elle veut dire quoi cette réponse Skops?

Et où est la blague lol?

Moi ?
Non aucun ^^

Skops

En fait c'est la composition avec . C'est çakébon, non ?

Pour moi c'est une évaluation du polynôme P en X+1

Pas forcément, mais s'il s'agit d'une multiplication, il vaut mieux passer le facteur (X+1) avant P pour éviter les confusions!

Oui après, il a bien voulu me dire

Skops

Et il a dit quoi ton prof ?

Greg, comment ça pas forcément ?

Pareil que Tigweb

Mais dans les exos, fait avec le prof, il arrivait que P(X+1) signifie P*(X+1)

Skops

Eh bien la notation P(X+1) est ambigue, il faut le reconnaître!

Elle désigne en général ce que vous avez écrit, mais il est vrai que cette écriture pourrait tout aussi bien désigner le produit du polynôme P par le polynôme (X+1) non?

Il est clair cependant qu'on notera plutôt (X+1).P ou P(X).(X+1).

Le prof nous avait donné un exo des ptites mines où ceci était clairement précisé

Skops

Cf le sujet de cette année, où Phi(P) = (X-a)(X-b)P' - n(X-(a+b)/2)P

Bonjour

J'ai une démonstration rigolote et pas calculatoire de l'exercice initial:

X P'(X) = P(X) peut s'écrire X P'(X) - 1.P(X)= 0

Sur IR*, c'est équivalent à [X P'(X) - 1.P(X)]/ X² = 0, soit [P(X) / X]'= 0

c-a-d P(X) / X = Cste  ou P(X) = Cste. X (k1.X et k2.X sur chacun des 2 intervalles)

Il n'y a plus qu'à recoller les deux morceaux par dérivabilité du polynôme, ce qui donne k1 = k2 = k et donc P(X) = k. X

On vérifie que la solution trouvée convient bien.

salut jeanseb

si je poursuis ton raisonnement, tu dis ( P(X)/X )' = 0

or P(X) = X.P'(X) donne P(X)/X = P'(X) et donc la relation devient P"(X) = 0 et P(X) = Cste1.X + Cste2

me trompé-je ? ou est-ce compatible avec ton développement ( si Cste2=0 ) ?

Bonjour

Bien sûr c'est compatible, mais tu perds (dans ta phase analyse) une information (la constante nulle) que tu récupères dans la phase synthèse (la constante non nulle ne convient pas pour l'égalité de départ). Tu ne poursuis donc pas mon raisonnement, mais tu prends un chemin de traverse (un peu plus long...).

Ce que je trouve intéressant dans cette démarche c'est qu'elle est valable pour une fonction dérivable quelconque, pas seulement pour un polynôme.Ca fait aussi penser à la résolution de certaines équations différentielles par une méthode que j'ai vu faire par Nightmare et Elhor.

Bonjour,

jolie ton astuce, mais il me semble qu'on ne gagne pas grand chose par rapport à la résolution "habituelle" de l'équation xy'=y, dans laquelle on serait aussi amené à séparer les cas x > 0 et x < 0, puis à recoller les morceaux.

merci pour tes explications jeanseb

salutatous