le théorème du rang dit
dim(espace de départ)=dim noyau+ dim image
sachant que le noyau est au départ et l'image à l'arrivée
sachant que rg(f^3) c'est par définition dim(Im(f^3))
je te laisse deviner l'espace de départ (??)

fais un petit schéma ça coute pas cher !



sachant que rg(f^4) c'est par définition dim(Im(f^4))
je te laisse deviner le moyen (?) de partir du départ pour arriver dans Im(f^4)

après ces deux devinettes le reste suit ss pb

ba on applique f  

tu as tout compris

ok merci (c'était simple au final)

Le but de l'exercice était de montrer que

2° Supposons par l'absurde que
Montrons qu'il existe      et


Soit   d'après la supposition précédente  nous en déduisons le résultat.


3°Montrer que la famille est libre.


On veut donc montrer que pour
  

J'ai donc pensé par composé par l'application f mais mais sans résultat étant donné que l'on connait rien sur f(0)

c'est 0 parce que mais c'est bien en composant par f  à gauche que l'on aboutit ?

Bonjour,

par linéarité de , il n'y a rien de plus à dire!

mais pour montrer que la famille est libre c'est bien de cette façon qu'il faut procéder à savoir composer par f

Oui

bizarre je vais revoir ce que j'ai fait

Revenu des vacances je me remet au boulot donc montrer que la famille est libre c'est ok puis le reste des questions suivantes aussi sauf une dans la deuxième partie qui est  

mq  E=Ker(f^3)Im(f^3)
j'ai donc commencé par montrer que l'intersection  est mais mon problème se situe après, lorsqu'il faut montrer les inclusions. Je n'y arrive pas dans les 2 sens .

Bonjour Bouli,

à mon avis ta démonstration du fait que l'intersection est réduite à est fausse, car c'est le plus difficile dans cette dernière question!

En effet, dès que c'est démontré, il suffit d'écrire que d'après le théorème du rang on a :

, donc que est un sous-espace de de même dimension que , cqfd.

Tu veux poster ta proposition de preuve que l'intersection est nulle? Si tu veux, je l'examine et te dis ce que j'en pense.

mon raisonnement est faux malheureusement
exact je n'y avais vraiment pas pensé (la dim finie et plus généralement l'algèbre me pose de vrais problèmes)
Bon je tente de montrer l'intersection

Oui c'est normal, il faut s'habituer à une nouvelle façon de raisonner!

Appelle-moi si tu as besoin! Mais ce n'est pas facile facile, je te préviens!

merci. Je me réserve ça pour demain, je vais aider au lycée ^^

Comme tu veux! Dis-moi si tu veux une indication! (Plusieurs seront peut-être d'ailleurs nécessaires!)

bon allé je me lance les lycéens attendront

Hin hin hin, je le savais!!

peut être partir sur   et après sachant que

non peut être pas finalement ^^

Faut-il utiliser une restriction de f ou plutôt f^3

?

Ok, une indication donc!

Montre que _{(bon ok ça fait deux indications en fait! )}

Je l'ai fait pour trouble implication à chaque fois. On va donc plutôt montrer que Ker(f^3)Im(f^6)=O surement grâce à une restriction de f^3 je me trompe ?

oups c'est inter

Euh...je n'ai rien compris à tes deux messages!!

^^ euh ba pour monter les égalités j'ai montré l'inclusion dans un sens et dans l'autre. Après j'ai fait une observation comme on a Im(f^3)=Im(f^6) il serait peut être plus facil de montrer

OK! Mais je ne pense pas!

Si tu as démontré mes deux indications, que peux-tu en déduire sur ?

a lol c'est possible que ce soit un projecteur?

je me suis levé tôt ce matin je divague peut être

Je précise ma question: que peux-tu dire de la restriction de à ?

f^3 est la fonction identitée

et on en déduit le résultat car

je te remercie pour ton aide

Je suis allé un peu vite la c'est vrai pour la restriction  

oui j'ai fais la remarque

enfin je vais continué demain parce que là je dis pas mal d'ânerie. bonne soirée

Ok, bonne soirée!

Me revoilà en pleine forme, donc notre but ou plutôt mon but est de montrer maintenant que   sachant que l'on a   pour

Plus clairement, sachant que la restriction de à est un isomorphisme! (Pourquoi au fait? )

On sait déjà que est injective, de plus  

Pourquoi injective? De plus on a mieux que cette inclusion, puisque le membre de droite est toujours inclus dans celui de gauche! Relis mes deux indications d'hier!

f^3 restreint à Im(f^3) c'est la fonction identité donc ça en découle. On peut même dire que c'est un automorphisme non ?

je m'embrouille f^3 restreint a Im(f^3) n'est pas forcément la fonction identité. Je dois faire de tri de ce que j'ai dis hier soir

En effet, ce n'est pas nécessairement l'identité! Pense à une rotation d'angle par exemple, et d'axe une droite vectorielle fixée: alors n'est pas l'identité. Je te laisse faire le point de ce que tu sais et d'une stratégie de démonstration utilisant mes indications d'hier.

Oui mais je ne vois pas trop f^3 restreint à Im(f^3) est bijective ? c'est curieux non ?

Comment ça, curieux? Tu l'as prouvé ou pas?!