Bonjour

tu peux calculer la probabilité p qu'un sac pèse moins de 500g, puis tu sais que le nombre de sacs qui pèsent moins de 500g suit la loi binômiale de paramètres 20 et p (approximation d'une loi hypergéométrique de paramètres N(grand), 20 et p), donc tu peux calculer la proba que ce nombre soit supérieur ou égal à 1

Bonsoir,
Soit X la v.a. donnant la masse d'un sac pris au hasard. X suit une loi N(;2,5).

Pour la question 1) on a =500 et donc P(X>500)=1/2. Les sacs étant indépendants la proba qu'ils soit tous conforme est (1/2)²⁰ et donc la proba que l'inspecteur émette un avis de non-conformité est 1-(1/2)²⁰1

Pour la question 2) on fait le même raisonnement :
Soit p la proba qu'un sac soit conforme.
On doit avoir 1-p[sup][/sup]200,05.
On en déduit p puis la valeur de

Bonsoir,

Suite à vos réponses, j'en suis arrivé à cette conclusion... corrigez-moi si je suis dans l'erreur:

Alors, P(Y ≥ 1 | n = 20, p = 0,05) = 1 - P(Y ≤ 1)

p  = 0.951/20 = 0, 9974386

À l'aide de la table et soustrayant 0.5 de la probabilité p, on trouve :
(0,9974386 -0,5= 0,4974386) --> Z = -2,80

Donc on sait que :
Z = -2,80,
σ = 2,5 g
a = 500 g
µ = ?
Z≥(a-μ)/σ --> -2,80= (500-μ)/2,5  --> μ=507 grammes

Pour réduire à moins de 5% la probabilité qu'un constat de non-conformité soit émis, la moyenne µ devra être réglée à au moins 507g.

C'est bon, Emiliou, mais pas très clair à mon avis ; il vaudrait mieux écrire par exemple :

étant la probabilité individuelle (à déterminer) qu'un sac soit rejeté (c'est-à-dire que ), on veut que :
     soit inférieure ou égale à 0,05 .

On doit donc avoir .
La valeur correspondante de la variable normale réduite est ; doit donc vérifier , soit .

Merci!

Donc, à la question: "combien devrait être réglé la moyenne µ afin de réduire au moins la probabilité à 5% pour qu'un constat de non-conformité soit émis?" La réponse est µ ≥ 507g? Et p = ? (0,997438621 ou 0,00256?)

Alors, évidemment, j'ai encore besoin de votre aide. Je suis stagnée et ne sais pas comment résoudre les prochaines question (toujours en lien avec ce problème):

1- "En supposant que la machine soit réglée de telle sorte que µ soit égal à la quantité calculée précédemment et que l'inspecteur décide de vérifier 40 sacs plutôt que 20, quelle est alors la probabilité pour qu'il observe au moins un sac contenant moins de 500 g de farine?"

Voici mon raisonnement: (je ne suis pas certaine de ma réponse!)

Soit W = nombre de sacs contenant moins de 500g parmi les 40 sacs sélectionnés.
W , p est déterminé à la question précédente (On cherche P(W ≥ 1) = 1-P(W = 0))

Alors, P(W ≥ 1 | n = 40, p = 0, 9974386) = 1 - P( W = 0), P = 1- 0,997438640 = 0,0975

Il y a 9,75% de chance que l'inspecteur observe au moins un sac contenant moins de 500g de farine


2- "En supposant que la machine soit réglée de telle sorte que µ soit toujours égal à la quantité calculée précédemment et que 4 800 sacs soient remplis par jour, que sait-on sur la quantité totale de farine versée dans ces sacs?"

Xi = quantité de farine (poids en grammes) versé dans le ième sac, i = 1,…,4800

3- "En supposant que la machine soit réglée de telle sorte que µ soit égal à la quantité calculée précédemment, quelle est la probabilité qu'au moins un des 4 800 sacs remplis dans une journée contienne moins de 500 g de farine?"

V= nombre de sacs contenant moins de 500g parmi les 4800 sacs.
V --> B(n = 4800 ; p.


Merci beaucoup à l'avance... je suis un peu perdue!
Emilie

Bonjour Emililou,

1) Ici l'événement individuel concerné est plutôt "sac rejeté" (i.e. X<500), et la probabilité individuelle correspondante est . Tu peux faire l'inverse, mais il faut alors être cohérent dans tout le discours. Et par exemple, ta ligne de calcul :
          "Alors, P(W ≥ 1 | n = 40, p = 0,9974386) = 1 - P( W = 0), P = 1- 0,9974386^40 = 0,0975 "
indique au bout un résultat juste, mais est incohérente ; en effet ... Il faut donc bien prendre ici et non

2) Chacun des suit une loi normale de moyenne et de variance ; "les remplissages étant indépendants d'un sac à l'autre" (ce qui n'est pas si évident dans la réalité, mais ceci est une autre histoire), la somme des est une variable normale de moyenne et de variance

3) Exactement comme 1) avec n=4800 au lieu de 40.

Bonjour Pierre_D,

je ne perds pas espoir de finir par comprendre ce problème...

1) Mais alors, si je prends p = 0,00256 au lieu de p = 0,9974386, ça ne donnera pas 9,75% de chance que l'inspecteur observe au moins un sac contenant moins de 500g de farine.

P(W ≥ 1 | n = 40, p = 0,00256) = 1 - P( W = 0), P = 1- 00,256^40 = 1- 2,1359870359209100823950217061696^e-104 = 1

Je ne comprends plus rien! ...désolé...

2) ∑ des 4800 X =(4800×507)+(4800×2,5² )= 2433600+30000 = 2463600 grammes

J'espère avoir bien compris!

3) il ne me reste qu'à comprendre le 1) !!!

Emililou

1) Tu as encore écrit la même erreur concernant la binomiale :
on a en fait : , alors que tu écris à tort :

2) Je ne comprends pas le sens de ton calcul. La somme des 4800\ X_i est une variable normale de moyenne et de variance _{4800\cdot2,5^2} ; point, terminé. Pourquoi additionner la moyenne et la variance ??? Si ce n'est pas des choux et des carottes, c'est au moins des choux et des choux au carré !

Bonjour Pierre_D,

Merci de votre patience...

1)
P(W=0┤|n;p)=(1-p)ⁿ =(1-0,00256)⁴⁰ = 0,99744⁴⁰ = 0,902549903 = 90.25%

Plus tôt, vous me disiez que j'avais indiqué au bout un résultat juste, mais est incohérente ; mais alors, si je veux revenir encore à ce résultat qu'était 9,75%, il faudrait que je fasse:

1-0,902549903 = 0,097450097 = 9.75%

J'avoue être vraiment perdue!

2) "Chacun des X_i suit une loi normale de moyenne 507 et de variance 2,5² ; "les remplissages étant indépendants d'un sac à l'autre" (ce qui n'est pas si évident dans la réalité, mais ceci est une autre histoire), la somme des 4800 X_i est une variable normale de moyenne 4800 x 507 et de variance 4800 x 2,5²."

Alors;
4800×507 = 2433600 grammes
4800×2,5²= 30000 grammes

En supposant que la machine soit réglée de telle sorte que µ (507)et que 4800 sacs soient remplis par jour, la quantité totale de farine versée dans ces sacs est donc de 2 433 600 grammes...

??
Mon cerveau est en bouillie...

Merci de m'aider!

4800x2,5² donne des grammes² ... c'est l'écart-type qui est en grammes, pas la variance

1)

2) "En supposant que la machine soit réglée de telle sorte que µ soit toujours égal à la quantité calculée précédemment et que 4 800 sacs soient remplis par jour, que sait-on sur la quantité totale de farine versée dans ces sacs?"
On sait que c'est une variable normale de moyenne et de variance .

Merci. J'apprécie!