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[DM] Démontrer que deux vecteurs sont colinéaires

Posté par Flash627 (invité) 03-10-07 à 17:44

Bonjour à tous !

J'ai un DM pour vendredi mais je ne comprends rien à plusieurs exercices

Je vais commencer par un premier, peut-être qu'en le résolvant je comprendrai les suivants

Voilà:

Soit ABC un triangle.
1. Placer les points D et E tels que:
AD = 3AC et AE=AB+AC
2. Placer le point F tel que AF = 3BF

(ça j'ai réussi ), c'est maintenant que ça se corce pour moi...

3. Exprimer DE en fonction de AB et de AC

4. Exprimer DF en fonction de AB et de AC

5. En déduire que les vecteurs DE et DF sont colinéaires.
Que peut on dire des points D, E et F?

(Pour ces deux questions de la question 5 je saurai me débrouiller grâce aux résultats trouvés dans la question 3 et 4... Je vois sur ma figure que ces trois points sont alignés et que les vecteurs DE et DF sont sur la même droite (donc colinéaires))

Pour exprimer DE en fonction de AB et de AC je dirai:

DE = DA + AE (selon Chasles) donc DE = -3AC + AE

Mais après que dois je faire? (si c'est la bonne démarche à suivre)

Pour exprimer DF en fonction de AB et de AC ce serait (selon la méthode suivie ci-dessus):

DF = DA + AF (selon Chasles) donc DF = -3AC + 3BF

Mais là encore je coince



Les valeurs que j'ai donné sont des vecteurs.
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Coll Moderateurre : [DM] Démontrer que deux vecteurs sont colinéaires 04-10-07 à 09:40

Bonjour,

Pour la question 3 :

\vec{DE}\,=\,\vec{AE}\,-\,\vec{AD}

\vec{DE}\,=\,\vec{AB}\,+\,\vec{AC}\,-\,3\vec{AC}

\vec{DE}\,=\,\vec{AB}\,-\,2\vec{AC}

Même méthode pour \vec{DF} à la question 4

Posté par Flash627 (invité)re : [DM] Démontrer que deux vecteurs sont colinéaires 04-10-07 à 19:13

Bonjour Coll, merci beaucoup de ton aide

Je commencai à désespérer ^^

Je calcule DF et je te montres ca Encore merci

Posté par Flash627 (invité)re : [DM] Démontrer que deux vecteurs sont colinéaires 04-10-07 à 19:47

AF = 3 BF
AD+DF =  3BD+3DF
3AC+DF = 3BA+3AD+3BF
DF-3BF = 3BA+3AD-3AC
-2DF = 3BA+9AC-3AC
-2DF = 3BA+6AC

-2DF = -(3BA+6AC)*-2

DF = 3/2 AB - 3AC
DF = -3AC+ 3/2AB

DE = AB-2AC
DF= -3AC+3/2AB

DE= (AB-2AC)*1.5
DE= 1.5AB - 3AC
DE = 3/2 AB - 3AC
DE= -3AC+3/2AB

Comme DE = -3AC+3/2AB et DF = -3AC+3/2AB donc DE = DF, les vecteurs DE et DF sont colinéaires.

Comme les vecteurs DE et DF sont colinéaires, les points D, E et F sont alignés.

J'ai réussi

Si j'ai fait des erreurs dans mes calculs, dites le moi svp...

Je m'attaque au second exercice incompris ^^'

Posté par
Coll Moderateurre : [DM] Démontrer que deux vecteurs sont colinéaires 05-10-07 à 08:14

On reprend...

\vec{DF}\,=\,\vec{AF}\,-\,\vec{AD}

1) \vec{AF}

Par construction \vec{AF}\,=\,3\,\vec{BF}
mais comme \vec{AF}\,=\,\vec{AB}\,+\,\vec{BF}
on en déduit que \vec{AB}\,=\,2\,\vec{BF} et donc que \vec{BF}\,=\,\frac{1}{2}\,\vec{AB}
finalement \vec{AF}\,=\,3\,\vec{BF}\,=\,\frac{3}{2}\,\vec{AB}

2) \vec{AD}

Par construction \vec{AD}\,=\,3\,\vec{AC}

3) conclusion
\vec{DF}\,=\,\vec{AF}\,-\,\vec{AD}\,=\,\frac{3}{2}\,\vec{AB}\,-\,3\,\vec{AC}

Citation :
5. En déduire que les vecteurs DE et DF sont colinéaires.
Que peut-on dire des points D, E et F ?

Puisque \vec{DE}\,=\,\vec{AB}\,-\,2\,\vec{AC} et que \vec{DF}\,=\,\frac{3}{2}\,\vec{AB}\,-\,3\,\vec{AC}

alors \vec{DF}\,=\,\frac{3}{2}\,\vec{DE}

conclusions :
. les vecteurs \vec{DF} et \vec{DE} sont colinéaires
. les points D, E et F sont alignés


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