Salut,

le polynôme minimal et le polynôme caractéristique ont les mêmes racines complexes, seule la multiplicité change. Il faut donc que tu mettes la bonne multiplicité afin d'avoir un polynôme caractéristique à coefficients réels, et de degré 5.

Jusqu'a maintenenant, nous utilisions des matrices definies ou on trouvait la multiplicité avec les calculs du polynome caracteristique. J'ai du mal a trouver la multiplicité sans exemple concrets. J'avais cependant pensé à Pu=x(x-i)²(x+i)² mais je sais pas comment justifier que les coefficients sont réels.

Si est racine de réel alors est aussi racine ! Facile à démontrer.

Juste pour verifier : On ne definit pas une multiplicité precise, on les teste toutes, cad, par exemple, pour le polynome Pu=x(x-i)^3(x+i), il suffit de preciser que le polynome minimal peut etre egal a a Pu, un de ses membres, tant que le degre des (x-) de depasse pas celui du polynome caracteristique.

Oui il y a plusieurs possibilités pour le polynôme caractéristique
, mais tu as des contraintes :

1) Le pol. minimal divise P donc ;
2) P est réel donc q=r ;
3) P est de degré 5 donc p+q+r=5.

Ca nous fait deux possibilités que je te laisse trouver.

Donc, les deux possibilités sont Pu1= x^3(x-i)(x+i) et Pu2= x(x-i)²(x+i)²

Ce qui fait pour le premier, que le mu1=Pu1 ou mu1=x² ou mu1=x

Merci beaucoup clormu, tu m'as bcp aidé, et j'ai enfin compris cette partie du cours.

Non non le polynôme minimal doit avoir les mêmes racines que P et des multiplicités inférieures. Il sera aussi réel. Mais lui peut être de degré 3,4 ou 5.

Donc mu doit avoir x, (x-i) et (x+i) dans son expression obligatoirement, avec des multiplicités plus faibles que dans Pu.

Par contre, x^5 peut-etre un Pu? La, je suis perdue

Non, relis les posts précédents, tout y est.