Bonjour, voila, j'ai un dm d'algebre a faire, et un exercice me pose probleme. Voila l'enoncé:
On considére un endomorphisme u diagonalisable de 5, dont les valeurs propres sont -i, 0, +i et dont le polynome caractéristique Pu a tous ses coefficients réels.
Donner le (ou les) expression(s) possible(s) pour le polynome minimal mu et le polynome caractéristique Pu.
D'aprés ce que j'ai compris de mes cours, le polynome caractéristique serait de la forme :
(x)(x-i)(x+i), et il y aurait deux racines couble, ou une racine double vu que u est dans 5.
Et donc, en fonction de ce polynome, on peut trouver le polynome minimmal, saut que je sais pas du tout comment faire.
Quelqu'un pourrait m'indiquer comment commencer l'exercice, pour que je comprenne comment faire?
Salut,
le polynôme minimal et le polynôme caractéristique ont les mêmes racines complexes, seule la multiplicité change. Il faut donc que tu mettes la bonne multiplicité afin d'avoir un polynôme caractéristique à coefficients réels, et de degré 5.
Jusqu'a maintenenant, nous utilisions des matrices definies ou on trouvait la multiplicité avec les calculs du polynome caracteristique. J'ai du mal a trouver la multiplicité sans exemple concrets. J'avais cependant pensé à Pu=x(x-i)²(x+i)² mais je sais pas comment justifier que les coefficients sont réels.
Juste pour verifier : On ne definit pas une multiplicité precise, on les teste toutes, cad, par exemple, pour le polynome Pu=x(x-i)^3(x+i), il suffit de preciser que le polynome minimal peut etre egal a a Pu, un de ses membres, tant que le degre des (x-) de depasse pas celui du polynome caracteristique.
Oui il y a plusieurs possibilités pour le polynôme caractéristique
, mais tu as des contraintes :
1) Le pol. minimal divise P donc ;
2) P est réel donc q=r ;
3) P est de degré 5 donc p+q+r=5.
Ca nous fait deux possibilités que je te laisse trouver.
Donc, les deux possibilités sont Pu1= x^3(x-i)(x+i) et Pu2= x(x-i)²(x+i)²
Ce qui fait pour le premier, que le mu1=Pu1 ou mu1=x² ou mu1=x
Merci beaucoup clormu, tu m'as bcp aidé, et j'ai enfin compris cette partie du cours.
Non non le polynôme minimal doit avoir les mêmes racines que P et des multiplicités inférieures. Il sera aussi réel. Mais lui peut être de degré 3,4 ou 5.
Donc mu doit avoir x, (x-i) et (x+i) dans son expression obligatoirement, avec des multiplicités plus faibles que dans Pu.
Par contre, x^5 peut-etre un Pu? La, je suis perdue
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