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dm n°4 les transformations
Deux cercles (C) de centre O et (C') de centre O', de même rayon, sont sécants en A et B.
Une droite passant par A recoupe le cercle (C)en M et le cercle (C') en N.
1) Faire la figure
2) Quelle conjecture peut-on faire pour le triangle MBN ?
3) On va maintenant prouver cette conjecture.
a) On note I le milieu du segment [AB]
Démontrer que (C) et (C') sont symétriques par rapport à I
b) On note N' le symétrique de N par rapport à I
Démontrer que les angles ANB et BN'A ont la même mesure.
c)Démontrer que N' est un point de (C)
d) Que peut-on en déduire pour les angles BN'A et BMA ?
e) Donner la conclusion de cette démonstration qui prouve la conjecture .
En attendant vos réponses pour ce DM
MERCI d'avance 
bonjour
1) tu fais la figure
2) BMN est iocèle de sommet B
3) a) I milieu de [AB]
soit s la symétrie de centre I
montrons d'abord que I est le centre de symétrie de [OO'] cad que s(O)=O'
soit R le rayon commun au deux cercles C et C'
on a: ||OA||=||OB||=||O'A||=||O'B||=R donc le quadrilatère OAO'B est un lozange. donc ses diagonales sont perpendiculaire et se coupent en leur milieu. le milieu de la diagonale [AB] étant I c'est donc aussi le milieu de la diagonale [OO']
donc s(O)=O'
maintenant si M est un point quelconque du cercle C et M' son symétrique par s alors M'=s(M)
comme la symétrie concerve la longueur donc ||O'M'||=||s(O)s(M||=||OM||=R
donc M' appartient au cercle C'.
b)on a A=s(B) et B=s(A) et N'=s(N)
donc BN'A=s(A)s(N)s(B)
comme la symétrie conserve les angles donc
s(A)s(N)s(B)=ANB
donc BN'A=ANB
c)N'=s(N) et N appartient à C' donc d'après a) C et C' étant symétrique l'un de l'autre alors N' appartient à C.
d)BN'A et BMA engendrent le même arc AB) dans le cercle C donc ils sont égaux: BN'A=BMA
e) BN'A=BMA (d'après d) et BN'A=ANB (d'après b) donc BMA=ANB
donc le triangle BMN est isocèle de sommet B.
!
mdr
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