Bonjour a tous , alors voici le sujet : on traite bien évidemment l'exo II ^^

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Je bloque à la fin des questions 2 et 3.
Pour le reste si vous pouvez vérifier que mes résultats sont bon, ça serai sympa.

1) f'(x) = [ x² . e^(-1/x) + x . e^(-1/x) + e^(-1/x) ]  /  x²

lim      (1+u)e^(-u) = 0
u->+∞

lim      [ x. e^(-x) + x² . e^(-x) ] / x = 0
x->+∞

Donc f est dérivable en 0 à droite et f'(0+) = 0

lim      f(x) = +∞
x->+∞

Dans le tableau de variation je trouve que f(x) monte de 0 vers +∞.

2) φ'(u) = u . e^(-u)

Pour tout u appartenant à [0,+∞[ , on a   0 ≤ u . e^(-u) ≤ u
Donc    0 ≤ φ'(u) ≤ u

Ψ(u) = (u²/2) + u.e^(-u) + e^(-u) -1
Donc Ψ(u) monte de 0 vers Ψ(+∞ )

Je n'arrive pas à encadrer φ(u) avec 0 et (u²/2)

3) J'ai su démontrer que 0 ≤ x -f(x) ≤ 1 / 2x

Et donc là encore une fois je bloque pour la fin de l'exo

Je vous remercie tous d'avance , et aidez-moi svp.

édit Océane : si tu veux de l'aide, il faut faire l'effort de recopier ton énoncé