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durée de vie d'un composant

Posté par
tinybond1 31-12-09 à 10:20

Bonjour à tous,
J'ai un petit soucis concernant un exercice sur la durée de vie d'un composant.

La durée de vie d'un composant est une variable aléatoire dont la fonction de répartition est la suivante :  F(x) = 1-exp(-x²) si x >=0
   0 si x <0
1. Déterminer la densité de X.
2. Calculer l'espérance mathématique et la variance de X.

Pour la question 1, il faut faire la dérivée de F(X), mais le x² me pose un problème.

Merci de votre aide.

Posté par
veledare : durée de vie d'un composant 31-12-09 à 17:11

bonjour
si u est dérivable[tex(]e^u)'=u'e^u[/tex]ici u=-x^2=>u'=-2x
une densité de X c'est donc f définie sur R par
f(x)=0 six<0
[tex]f(x)=2xe^{-x^2} sinon

Posté par
veledare : durée de vie d'un composant 31-12-09 à 17:12

f(x)=2xe^{-x^2} sinon

Posté par
tinybond1re : durée de vie d'un composant 01-01-10 à 19:32

merci veleda je comprends mieux

par contre pour l'espérance là aussi je suis bloqué, je fais donc l'intégrale de x * f(x)dx
j'obtiens donc l'intégrale de 2x² exp(-x²)

et là encore je ne sais pas comment faire car il y a le carré de 2x²
s'il n'y avait pas eu le carré cela aurait donné la même fonction que dans l'énnoncé, et je ne comprends pas comment je dois m'en sortir.

Posté par
veledare : durée de vie d'un composant 01-01-10 à 19:53

bonsoir
E(X)=\int_0^{+\infty}x^2e^{-x^2}dx on montre facilement l'existence de cette intégrale
E(x)=\int_0^{+\infty}x(2xe^{-x^2})dx=[-xe^{-x^2}]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx
le terme intégré est nul et l'intégrale \int_0^{+\infty}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}intégrale de gauss que tu as probablement déja rencontrée,on ne connait pas de primitive de e^{-x^2}

Posté par
tinybond1re : durée de vie d'un composant 03-01-10 à 12:33

Merci beaucoup veleda, je n'avais jamais entendu parlé de cette "intégrale de gauss" qui n'a pas de primitive, donc en effet je pouvais toujours chercher...

je ne comprends pas pourquoi il faut découper en 2 intégrales, car si je dérive ta partie intégré il me semble retrouver 2x²e -x²

enfin bref j'ai continué sur la variance, il faut donc faire E(X²) - [E(X)]²
c'est à dire E(X²) - /2

E(X²) il s'agit là de 0+oo 2x^3 e-x²

peux-tu une dernière fois m'aider?

Merci

Posté par
veledare : durée de vie d'un composant 03-01-10 à 14:32

la partie intégrée est un produit,je crois que tu as simplement dérivée^-x^2

Posté par
veledare : durée de vie d'un composant 03-01-10 à 14:57

bonjour,en relisant mon message du 01/01/2010il me semble qu'il manque un facteur 2 dans ma première expression de E(X) mais le l'ai bien mis à la ligne suivante
pour E(X²) une intégration par parties convient v=x² u'=2xe-x²
je reviens plus tard je dois partir

Posté par
tinybond1re : durée de vie d'un composant 03-01-10 à 18:35

je n'y arrive pas...
peux-tu également me dire comment tu as fait pour trouver les crochet et l'intégrale de E(X)?

merci.

Posté par
veledare : durée de vie d'un composant 03-01-10 à 18:55

je viens d'arriver il y a 1/4 d'heure
pour E(X):
tu poses x=u et v'=2xe^{-x^2} ,v'=2xe^{-x^2}c'est la dérivée de v=-e^{-x^2}=>uv=x(-e^{-x^2}) \\ E(X)=[-xe^{-x^2}]_0^+\infty-\int_0^{+\infty}u'vdx=0+\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx pour cette intégrale tu peux chercher à"intégrale de gauss sur Wikipedia

Posté par
veledare : durée de vie d'un composant 03-01-10 à 19:11

pour le calcul de\int_0^{+\infty}2x^3e^{-x^2}dx
2x^3e^{-x^2}=x^2(2xe^{-x^2}=uv'avecu=x^2,v'=2xe^{-x^2}
doncu.v=x^2(-e^{-x^2})
\int_0^{+\infty}2x^3e^{-x^2}dx=[uv]_0^{+\infty}-\int_0^{\infty}2x(-e^{-x^2})dx=[-e^{-x^2}]_0^{+\infty}=1sauf erreur de calcul

Posté par
tinybond1re : durée de vie d'un composant 03-01-10 à 19:23

j'étais en train de faire le même calcul que toi pendant que tu postais, et je trouve la même chose.
merci infiniment.
bonne soirée

Posté par
veledare : durée de vie d'un composant 03-01-10 à 21:11

bonne soirée à toi aussi


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