Bonsoir tout le monde,
J'essayais de calculer l'intégrale qui, à un facteur près, correspond à la probabilité qu'une v.a. gaussienne prenne une valeur espacée d'au plus un écart-type par rapport à la moyenne.
Pour ce calcul, j'envisageais d'utiliser la même méthode que celle employée pour la même intégrale mais sur : on pose , en la mettant au carré et en faisant un changement de variable polaire on obtient :
Comme de plus est positive, on a donc .
Si l'on suit le même raisonnement pour notre intégrale sur [-1, 1], on va être amené à calculer une intégrale double sur [-1, 1]² au lieu de ². Le changement de variable devient alors un peu plus technique, une dépendance en apparaissant alors dans les bornes de l'intégrale en r :
où , cf. schéma ci-joint. On a alors
À partir de là je ne sais pas vraiment comment continuer. J'ai bien essayé un changement de variable affine, du style , ce qui nous donne , mais je n'ai pas d'idée pour aller plus loin. Est-ce que quelqu'un aurait des suggestions ? Ou alors peut-être une approche différente devrait-elle être envisagée ?
Merci d'avance !