Niveau Maths sup

Ecricome

Posté par
tiphaine91 02-01-10 à 19:58

Bonsoir, quelqu'un aurait il la correction de l'exercice 1 de l'ecricome de 2002 option scientifique ?
Voila le lien pour l'exercice :

Je ne comprends pas ce qu'il faut faire au niveau de la question 2)b) et 3)a)b)c) donc si vous pouviez m'éclairer ca serait sympa

Merci,Bonne soirée

Posté par re : Ecricome 03-01-10 à 10:08

bonjour,
je n'ai pas le corrigé mais voici quelques indications
2)b
tu dois montrer queest une application linéaire de C[X] dans C[X]
*PC[X] P=T.Q+R avecRC[X] et degré de R\lambda\phi(P_1)<degré de T soit degré deR 2 c'est à dire que RC_{X]2 donc est bien une application ce C[X] dans lui même
*il faut vérifier que est linéaire c'est à dire que $P_1et P_2$ de C[X], $\lambda$ C on a
$(P_1+P_2)=$ $(P_1)$ + $(P_2)$ (1)
$(\lambda P_1)=\lambda$ $(P_1)$ (2)
$P_1+P_2=TQ_1+R_1+TQ_2+R_2=T(Q_1+Q_2)+(R_1+R_2)$ avec degré R₁<3 et degré R₂<3
mais degré(R₁+R₂)sup(degréR₁,degré R₂
donc( $R_1+R_2$ est le reste de la division de $P_1+P_2$ par $T=>$ (P₁+P₂)=R₁+R₂)=(P₁)+(P₂)
donc (1) est vérifié
tu montres (2) ..

Posté par re : Ecricome 03-01-10 à 10:36

3)
a) $C_2[X]$ est de dimension 3 pour montrer que ( $L_1,L_2,L_3$
en est une base il suffit de montrer que c'est une famille libre
ou bien tu montres que $\bigsum_i=1^3\lambda_iL_i=0=>\lambda_i=0$ pour tout i
ou bien tu écris le déterminant de $(L_1,L_2,L_3)$ dans la base canonique(1,X,X²) et tu vérifies qu'il n'est pas nul
b) $(L_1,L_2,L_3)$ étant une base de $C_2[X]$ tout polyn^ome de $C_2[X]$ est combinaison linéaire de $L_1,L_2,L_3$
$X^n$ est dans $C_2[X]$ puisque c'est le reste de la division de $X^n$ par T on peut donc écrire $(X^n)=a_nL_1+b_nL_2+c_nL_3$