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Niveau Maths sup
Egalité arctan(sh)=arccoc(1/ch)
Posté par galba
Voila je dois montrer que arctan(sh)=arccos(1/ch).
On doit procéder de 2 façon différentes.
Pour la 1ere j'ai dérivé les 2 fonctions mais je n'arrive pas à montrer l'égalité je suis pourtant assez proche :
j'ai mis au carré mes 2 dérivées pour enlever la racine qui intervenait sinon avec la dérivée de arccos.
En développant, j'obtiens (1-ch²)/(ch^4+ch²-1) pour arccos'(1/ch)
et ch²/(ch^4+2ch²+1) pour arctan'(sh).
Pouvez-vous m'aider à prouver que ces 2 quantités sont égales ?
Et auriez-vous une piste à me donner pour la 2eme méthode ?
Merci de votre aide !
Une 2ème méthode consisterait à écrire, en appelant a l'arc du 1er membre et b celui du 2ème membre :
tan a = sh et cos b = 1/ch, puis
tan²a + 1 = sh² + 1 et cos²b = 1/ch² = 1 + th².
En utilisant les égalités classiques, on arrive à obtenir cos²a = cos²b.
Merci Priam, j'arrive en effet à cos²a = cos²b.
Mais cela ne veut pas dire que a = b, et de plus je dois montrer cela 
x
0.
Or Arctan(tan x )= x seulement sur ]-
/2 ; /2[.
On peut s'en sortir quand même ?
Arc tan x est un arc compris entre -pi/2 et +pi/2 dont la tangente est x. L'arc a est donc compris entre ces deux limites.
Arc cos x est un arc compris entre 0 et pi dont le cosinus est x. L'arc b est donc compris entre ces deux limites.
cos²a = cos²b conduit à a = ±b ou ±(pi - b), soit quatre solutions. Il faudrait voir si Les limites ci-dessus pour a etr b permettent d'éliminer trois d'entre elles, ou seulement certaines....