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Niveau Maths sup
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Egalité de deux ensembles

Posté par
Thursaz
20-03-10 à 16:05

Bonjour

Je sèche sérieusement sur une partie d'exo de colle sur les espaces vectoriels...

Soit un K-ev. Soit f L(E).

Montrer que : f (ker f²) = im f ker f
Je me doute bien qu'il faut procéder par double inclusion mais je ne sais pas du tout comment exprimer l'appartenance d'un vecteur à l'un des deux ensembles...
Si vous avez des indications je suis preneur

Merci d'avance !

Posté par
Camélia Correcteur
re : Egalité de deux ensembles 20-03-10 à 16:16

Bonjour

Soit y dans f(Ker(f^2)). Alors il existe x dans Ker(f^2) tel que y=f(x). Ceci prouve déjà que y\in Im(f). De plus f(y)=f^2(x)=0 donc y\in Ker(f).

Tu esayes l'autre sens?

Posté par
Olivski
re : Egalité de deux ensembles 20-03-10 à 16:22

Bonjour, voici ce que je te propose,

*Montrons que f (ker f²) inclu dans im f inter  ker f
Soit x dans f(Kef(f²)) montrons que x est dans imf et dans kef f
   d'une part x dans f(Kef(f²)) implique qu'il existe un y dans Ker(f²) tel que x=f(y) autrement dis x appartient à Imf (c'est la définition de   Imf).
   d'autre part, montrons que x est dans Ker(f): regardons pour celà f(x):
    f(x)=f.f(y)=f²(y) avec y dans Kerf² donc f²(y)=0 d'où f(x)=0 ce qui implique que x appartient aussi à Ker(f), d'où l'inclusion

*Pour l'autre inclusion....je te laisse chercher

Posté par
Olivski
re : Egalité de deux ensembles 20-03-10 à 16:24

nan mais nan mais nan....bon décidement je tape aussi lentement qu' un gendarme moi !!! Bon je vais aller me recoucher je pense^^

Posté par
Thursaz
re : Egalité de deux ensembles 20-03-10 à 16:26

Ah oui d'accord c'est tout bête en fait... Merci

Pour l'autre sens j'ai écrit :
Soit y im f ker f. Alors il existe x E tel que y = f(x) avec f(y) = 0, donc f²(x) = 0 ou encore x Ker f² d'où y f (ker f²)

Ca a l'air de marcher Merci beaucoup.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Egalité de deux ensembles 20-03-10 à 16:27

Mais non... moi je tappe plus vite que mon ombre... et tu as très bien fait l'exo! Je te lasse l'autre sens!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Egalité de deux ensembles 20-03-10 à 16:27

Oui, c'est bon! Affaire réglée...

Posté par
Thursaz
re : Egalité de deux ensembles 20-03-10 à 16:42

Euh... désolé mais j'ai essayé un atre exercice du même type pour m'entraîner et je bloque à un endroit

Montrer que : ker f = ker f² ker f im f = { 0E } , où E est toujours un K-ev et f L(E)

J'ai essayé de prouver l'équivalence en prouvant les deux implications, implications qu'il faut prouver en procédant par double inclusion. je pense que la méthode est bonne mais je n'arrive pas à prouver ceci :

ker f im f = { 0E } ker f² ker f.
En fait j'ai surtout du mal à exprmier l'hypothèse " ker f im f = { 0E } "
Encore merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteur
re : Egalité de deux ensembles 20-03-10 à 16:55

Il ne faut pas exprimer une hypothèse a priori. Il faut se lancer... Soit x\in ker(f^2). Alors f(f(x))=0, donc f(x)\in ker(f). Mais de toute façon f(x)\in im(f). Et voilà l'hypothèse: f(x)\in im(f)\cap ker(f) donc f(x)=0 et x\in ker(f)

Posté par
Thursaz
re : Egalité de deux ensembles 20-03-10 à 17:03

D'accord merci beaucoup Bonne journée



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