Bonjour
Je sèche sérieusement sur une partie d'exo de colle sur les espaces vectoriels...
Soit un K-ev. Soit f L(E).
Montrer que : f (ker f²) = im f ker f
Je me doute bien qu'il faut procéder par double inclusion mais je ne sais pas du tout comment exprimer l'appartenance d'un vecteur à l'un des deux ensembles...
Si vous avez des indications je suis preneur
Merci d'avance !
Bonjour
Soit y dans . Alors il existe x dans tel que y=f(x). Ceci prouve déjà que . De plus donc .
Tu esayes l'autre sens?
Bonjour, voici ce que je te propose,
*Montrons que f (ker f²) inclu dans im f inter ker f
Soit x dans f(Kef(f²)) montrons que x est dans imf et dans kef f
d'une part x dans f(Kef(f²)) implique qu'il existe un y dans Ker(f²) tel que x=f(y) autrement dis x appartient à Imf (c'est la définition de Imf).
d'autre part, montrons que x est dans Ker(f): regardons pour celà f(x):
f(x)=f.f(y)=f²(y) avec y dans Kerf² donc f²(y)=0 d'où f(x)=0 ce qui implique que x appartient aussi à Ker(f), d'où l'inclusion
*Pour l'autre inclusion....je te laisse chercher
nan mais nan mais nan....bon décidement je tape aussi lentement qu' un gendarme moi !!! Bon je vais aller me recoucher je pense^^
Ah oui d'accord c'est tout bête en fait... Merci
Pour l'autre sens j'ai écrit :
Soit y im f ker f. Alors il existe x E tel que y = f(x) avec f(y) = 0, donc f²(x) = 0 ou encore x Ker f² d'où y f (ker f²)
Ca a l'air de marcher Merci beaucoup.
Mais non... moi je tappe plus vite que mon ombre... et tu as très bien fait l'exo! Je te lasse l'autre sens!
Euh... désolé mais j'ai essayé un atre exercice du même type pour m'entraîner et je bloque à un endroit
Montrer que : ker f = ker f² ker f im f = { 0E } , où E est toujours un K-ev et f L(E)
J'ai essayé de prouver l'équivalence en prouvant les deux implications, implications qu'il faut prouver en procédant par double inclusion. je pense que la méthode est bonne mais je n'arrive pas à prouver ceci :
ker f im f = { 0E } ker f² ker f.
En fait j'ai surtout du mal à exprmier l'hypothèse " ker f im f = { 0E } "
Encore merci d'avance
Il ne faut pas exprimer une hypothèse a priori. Il faut se lancer... Soit . Alors f(f(x))=0, donc . Mais de toute façon . Et voilà l'hypothèse: donc f(x)=0 et
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