Bonjour, voici un exercice qui me pose problème :
Démontrer que pour tout x dans R,
a) 0<= E(nx) - nE(x) <= n-1
b) E[E(nx)\n] = E(x)
Pour la a), j'ai utilisé la définition de la partie entière avec les inégalités, et j ai obtenu, à l'erreur de calcul près :
-nE(x)-n< -nx <= -nE(x)
Et,
E(nx)<= nx < E(nx)+1
En combinant les inégalités obtenues :
-1<= E(nx)-nE(x) <= n
Je ne suis pas loin du résultat attendu mais je n'arrive pas à voir où ça coince.
Pour la b), toujours en utilisant la definition d'une partie entiere :
nx< E(nx)+1 donc E(nx)/n < x et comme E est croissante d'après le cours,
E[E(nx)/n]<E(x)
De plus, par déf,
E[E(nx)/n]<= E(nx)/n < E[E(nx)/n] + 1
Donc,
E[E(nx)/n]<= E(nx)/n < E(x) + 1
Et là ça bloque, je ne pense pas être sur la bonne voie, peut-être qu'une récurrence marcherait mais je ne pense pas que ça soit le but de l'exercice.
Avez-vous des conseils ? Merci d'avance