Niveau Maths sup

Encadrement d'arcsinus

Posté par
ds3-2a 12-12-11 à 20:21

Bonsoir, voilà mon problème :
Soit f la fonction définie par f(x)=arcsin((x+1)/(2(x²+1))

Démontrer que f est définie sur R et précisez son ensemble de continuité.

J'ai essayé d'encarder f sachant que -1<arcsin<1 mais rien n'a abouti

Sinon, j'ai fait x+1<2(x²+1)) qui mène à -x²-2x-1<0 mais je ne sais pas quoi dire après.

Pouvez-vous m'aider ? Merci

Posté par re : Encadrement d'arcsinus 12-12-11 à 21:17

Bonsoir.

Tu dois vérifier que :

$-1 \le \frac{x+1}{\sqrt{2(x^2+1)}} \le 1$

Ce qui équivaut à :

$(\frac{x+1}{\sqrt{2(x^2+1)}})^2 \le 1$

Posté par re : Encadrement d'arcsinus 12-12-11 à 21:45

Cela donne x² - 2x + 1 0

Donc : (x - 1)² 0

Ce qui est toujours vérifié

Posté par re : Encadrement d'arcsinus 13-12-11 à 11:22

Bonjour,

Raymond a donné la solution.

Celle-ci est peu différente.
$f(x)= arcsin( \frac{x+1}{\sqrt{2(x^2+1)}})$
ou
$sin(f(x)) =\frac{x+1}{\sqrt{2(x^2+1)}} \\ sin^2(f(x)) =\frac{(x+1)^2}{2(x^2+1)}=\frac{(x+1)^2} {(x+1)^2+(x-1)^2}$

...

Alain

Posté par re : Encadrement d'arcsinus 13-12-11 à 19:14

Merci beaucoup pour vos réponses !

Posté par re : Encadrement d'arcsinus 14-12-11 à 08:26

Tu feras attention à la dérivée en x = 1

Bonne journée

Posté par re : Encadrement d'arcsinus 15-12-11 à 10:59

Cette fonction possède une propriété remarquable : sa non dérivabilité en x₀ = 1

f étant définie sur IR, on peut poser x = tan(u) avec : $-\frac{\pi}{2}<u<\frac{\pi}{2}$ .

Alors, une application des formules de trigonométrie donne :

$\frac{1+x}{\sqrt{2+2x^2}}=sin(u+\frac{\pi}{4})$

Malheureusement, on ne peut pas simplifier directement. En effet :

$-\frac{\pi}{2}<u<\frac{\pi}{2} \ \Longrightarrow \ -\frac{\pi}{4}<u+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}$

Il faut donc étudier deux cas :

1°) $-\frac{\pi}{4}<u+\frac{\pi}{4}\le\frac{\pi}{2} \ \Longrightarrow \ x \ \le \ 1$

Alors, $f(x)=u+\frac{\pi}{4}=Arctan(x)+\frac{\pi}{4} \ , \ x \ \le \ 1$

2°) $\frac{\pi}{2}\le u+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4} \ \Longrightarrow \ x \ \ge \ 1$

En écrivant $f(x)=Arcsin[sin(\pi-u-\frac{\pi}{4})]=Arcsin[sin(\frac{3\pi}{4}-u)]$

on obtient : $\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}-u\le\frac{\pi}{2} \ \Longrightarrow \ x \ \ge \ 1$

Donc : $f(x)=\frac{3\pi}{4}-u=\frac{3\pi}{4}-Arctan(x) \ , \ x \ \ge \ 1$

Cela donne la représentation graphique suivante :

$Encadrement d\'arcsinus$