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Endomorphisme et espace vectoriel
Bonjour à tous,
Je voudrai de l'aide pour un exercice sur lequel je coince complétement ...
Voici le sujet :
Soit f un endomorphisme de rang d'un ev réel E de dim n.
1) Quelle est la dimension du noyay de f ?
rg(f) = dim Im(f)
On applique le théorème du rang :
Dim E = rg f + dim Ker f
On trouve donc dim Ker f = (n-1)
2) En écrivant la matrice de f dans une base bien choisie, montre que f est trigonalisable
Seulement, je ne vois pas comment à partir de la dimension du Noyau, on peut en arriver à en déduire quelque chose pour cette question !
Si quelqu'un pouvait m'expliquer 
Merci à tous !
Salut
1) OK
2) Tu sais que l'image est la droite vectorielle engendré par un vecteur (non nul) que j'appelle par exemple v : ker(f)=Vect{v}. Si tu construis une base de E adéquate, on aura une belle matrice triangulaire.
La seule information qu'on a est que le noyau est de dim n-1 ...
Mais je ne vois pas comment construire une base à partir de ça ! En gros rien qu'avec les dimensions, je suis censé pouvoir écrire la matrice une fois que j'aurai la base ?
Si j'appelle une base de
, quel théorème me permet de dire qu'il existe un vecteur
, qui appartient nécessairement à
tel que
est une base de E ?
Théorème : Soit E un K-espace vectoriel, L=(x1,...,xp) une famille libre de E et G=(y1,...,yq) une famille génératrice de E. Alors on peut compléter L avec certains éléments de G pour former une base de E.
D'accord ! Je ne me souve
nais plus de celui là, on l'a évoqué mais je ne me souvenais plus de l'avoir dans mon cours !
Donc on a maintenant une base de E :
(v, e1, ... , en-1)
En quoi cela donne-t-il donc une matrice trigonalisée ?
Grâce à ce théorème :
Lorsque E est de dimension finie n, si f est un endomorphisme admettant n valeurs propres distinctes de vecteurs propres associés v1, v2, ..., vn , alors ceux-ci constituent une base de E et relativement à cette base (v1, v2, ..., vn), la matrice de f prend la forme diagonale
?
Rho la boulette.
Je n'ai rien dis.
Non mais à partir de la base, en gros il faut arriver à écrire la matrice ?
Je ne vois toujours pas ...
J'ai la base mais comment en déduire une écriture matricielle ?
Avec une histoire de valeur propre en coéfficient diagonal ?
moi je comprends pas, t'as pas une information supplémentaire parce que c'est pas parce que rg(f) = n-1 et dimKer(f) = 1 que f est trigonalisable...
Ce que je ne comprends pas c'est que dans la question qui suit :
3) En déduire que le Polynome caractéristique est de la forme :
f = (-1)^n X^n-1 (X-a)
Ou a = tr(f)
Le soucis c'est que je ne peux pas prendre la réponse de cette question pour prouver la précédente !
Il faut donc que je représente la matrice ?
Mais comment est-elle déductible à partir de la Base ?
Je te renvoie vers 
Etude générale des matrices de rang 1
Salut!
C'est parce que tu mets les vecteurs dans le mauvais sens que ta matrice n'est pas triangulaire.
Si e_1,...,e_{n-1} est une base du noyau, alors prend v n'importe quel vecteur qui complete e_i en une base et ecrit la matrice de f dans e1,...,e_{n-1},v (et pas (v,e1,...,e_{n-1}).
Donc tu as vu que la dimension du noyau est n-1.
Prends e1,...,e_{n-1} une base du noyau et prend v un vecteur de telle sorte a ce que e1,...,e_{n-1},v soit une base.
Que vaut f(e_i)?
Pour f(v), on sait juste qu'il appartient a ton espace, donc il existe a1,...,a_n tel que
f(v)=a1.e1+...+a_{n-1}.e_{n-1}+a_n.v (puisque (e1,..., e_{n-1}, v) est une base).
Que vaut la matrice de f dans la base (e1,...,e_{n-1},v)?
Donc, je pose :
B1 = (e1, ... ,e_(n-1)) une base du Noyau.
B2 = (e1, ... ,e_(n-1),v) une base.
f(e_i) = e_i.e1 + e_i.e2 + ... + e_(n-1)*e_i ?
F(v) appartient à l'espace E : donc il existe a1,...,a_n tel que
f(v)=a1.e1+...+a_{n-1}.e_{n-1}+a_n.v
J'ai juste ou pas jusqu'ici ?
Je ne vois toujours pas à quoi aboutir ... La matrice est censée être triangulaire, un rapport avec la trace pour trouver les coéfficients diagonaux ?
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