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Ensemble dénombrable?

Posté par
Epicurien 09-10-07 à 21:33

Salut

Je voudrais savoir comment montrer qu'un ensemble est dénombrable ou pas.



Merci des réponses.

Kuider.

Posté par
Epicurienre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 21:44

up

Posté par
Epicurienre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 21:51

up

Posté par
Nightmarere : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 21:57

Bonsoir

Ben en revenant à la définition, en montrant qu'il est équipotent à N ou équipotent à un autre ensemble dénombrable.

Posté par
Nightmarere : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:01

En fait, il suffit même de trouver deux injections, l'une de N dans notre ensemble et l'autre dans notre ensemble dans N et magiquement, cela montre que l'ensemble est dénombrable. Pourquoi?

Posté par
Mihawkre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:02

plop Kuider,

déja tout depend de ta definition de denombrable

y a deux definitions :

def 1 : un ensemble dénombrable est un ensemble qui est en bijection avec \mathbb{N}.

def 2 : un ensemble denombrable est un ensemble fini ou qui est en bijection avec \mathbb{N}.

ensuite tout depend de ton ensemble. Il n'y a pas vraiment de methodes générales...

MAIS un théoreme sert beaucoup : Le théorème de Cantor-Bernstein :

Theoreme :

Citation :
Soit E et F deux ensembles. Si on a f : E F injective et g : F E injective alors il existe une bijection entre E et F.


remplace injective par surjective et ca marche encore.
Il suffit ensuite de prendre pour E ou F un ensemble que tu sais dénombrable (\mathbb{N} ou \mathbb{Q} par exemple).

J'ai bosser dessus l'an dernier pour mon projet de licence. Si ca t'interesse je peux te l'envoyer. Envoie moi juste un mail pour le demander

j'espere que ca t'aide ^^

Posté par
Epicurienre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:03

Je ne sais pas trop

Merci de m'expliquer et d'avoir répondu

Kuider.

Posté par
Epicurienre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:05

Ok, merci Mihawk

Pour la définition de dénombrable, j'avais la déf 2 en fait.

Kuider.

Posté par
Nightmarere : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:06

Mihawk a répondu

Posté par
Epicurienre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:06

Oui, je t'enverrai un mail .

En fait, j'aimerais bien montrer que R est indénombrable.



Kuider.

Posté par
Mihawkre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:08

je l'ai fait et c'ets pas trop trop dur ^^

en fait c'est plus simple de demontrer que [0,1] n'est pas denombrable et ensuite que R et [0,1] sont equipotent. D'ou R n'est pas denombrable.

Le seul truc emmerdant ce sont les ecritures impropres ^^;

Posté par
Epicurienre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:09

^^

Merci a vous 2!


Mihawk, tu peux me l'envoyer là si tu l'as sous le coude bien sur

sinon je peut attendre

encore merci Jord et Mihawk

Kuider.

Posté par
Mihawkre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:14

mail envoyé ^^

bonne lecture ^^

Posté par
Redmanre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:15

Si IR était dénombrable alors il serait une réunion de singletons qui sont des fermés d'interieurs vide donc il serait d'interieur vide...
absurde car l'interieur de IR est IR lui même

Posté par
Redmanre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:16

PS: cette démonstration repose sur le théorème de Baire mais peut parfaitement se faire en prenant des segments emboités

Posté par
Epicurienre : Ensemble dénombrable? 09-10-07 à 22:17

Merci  ^^

Kuider.

Posté par
1 Schumi 1re : Ensemble dénombrable? 11-10-07 à 10:28

Salut tout le monde,

Epicurien >> Je pense qu'avec tes connaissances de Terminales tu peux le faire en exo. Je l'ai fait en sup, mais en n'utilisant quasiement que des connaissance de Term. J'essaie de te le retrouver.

Posté par
Epicurienre : Ensemble dénombrable? 11-10-07 à 18:04

Salut et Merci Ayoub! ^^

Kuider.

Posté par
1 Schumi 1re : Ensemble dénombrable? 11-10-07 à 20:06

Ca y est j'ai mis la main dessus. Je te le poste demain: Ya pas mal de LaTex et j'ai un peu la flemme ce soir.

Posté par
Epicurienre : Ensemble dénombrable? 11-10-07 à 20:09

Ok, pas de souci, de toute façon il ira texto dans les favoris

Bonne soirée

Kuider.

Posté par
1 Schumi 1re : Ensemble dénombrable? 12-10-07 à 13:33

Re.
\rm
Soit \rm I_n=[a_n,b_n]\subset \mathbb{R}, \rm n\in\mathbb{N}, une suite d'intervalles vérifiant:

\rm\forall n\in\mathbb{N} I_{n+1}\subset I_n.

1) Montrer que pour tout entier naturel p et q, \rm a_p\le b_q.

2) On considère  les ensembles \rm A=\{a_p, p\in\mathbb{N}\} et  \rm B=\{b_q, q\in\mathbb{N}\}.
a) Montrer que A(resp. B) est une partie majorée (resp. minorée) de R.
b) En déduire que A (resp. B) admet une borne supérieure (resp. inférieure) qe nous noterons \rm a_0 (resp. \rm b_0).
c) Montrer que \rm a_0\le b_0 et en déduire que \rm\Bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n\neq\empty

3) Soit \rm f:\mathbb{N}\to]0,1[ une application.
a) Montrer qu'il existe un segment \rm I_0\subset ]0,1[ tel que \rm f(0)\notin I_0.
b) Plus généralement, montrez que pour tout \rm n\in\mathbb{N}, il existe un segment \rm I_n tel que: (i) \rm I_{n}\subset I_{n-1} et (ii) \rm f(n)\notin I_n.

En déduire que f n'est pas surjective.

Quelques remarques: Un segment est un intervalle fermé et borné.
Pour l'histoire de la borne sup et inf, fais une mini recherche sur notre ami ( ), l'utilisation qu'on en fait ici n'est pas très compliquée.

Posté par
Camélia Correcteurre : Ensemble dénombrable? 12-10-07 à 14:43

Bonjour à tous

Pour R je préfère les démonstrations qui ne font pas appel à la topologie...

Exercice

Posté par
Camélia Correcteurre : Ensemble dénombrable? 12-10-07 à 14:44

Erreur de bouton!

Exercice Montrer que l'ensemble des parties de N et que l'ensemble des suites à coefficients entiers ne sont pas dénombrables.

Posté par
1 Schumi 1re : Ensemble dénombrable? 13-10-07 à 15:56

Pour le premier c'est plutôt facile, mais pour la suite, ...

Je réfléchis.


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