équation de parties entières

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équation de parties entières
Posté par 
czb  07-12-09 à 19:24
Bonsoir à tous 

Je galère un peu à résoudre l'équation de parties entières suivantes, à résoudre sur R bien sûr:

E(2x-1)=E(x-4)

J'ai du mal à trouver le point de départ du raisonnement à adopter, c'est pour cela que j'aimerais avoir un petit coup de pouce pour commencer, j'pense que ça suffira 

Merci d'avance 

Czb
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idrissi_MedRe : équation de parties entières  07-12-09 à 20:10
Pensez à la résoudre graphiquement ...
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czbre : équation de parties entières  07-12-09 à 20:17
Oui j'y ai pensé : pour obtenir l'égalité, les réels 2x-1 et x-4 doivent appartenir à un même intervalle d'amplitude 1. Seulement je ne vois pas comment avancer ensuite...:s
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kybjmre : équation de parties entières  07-12-09 à 20:34
 On pose f(x) = E(2x - 1) - E(x - 4)

 "le point de départ du raisonnement" est de  "faire sauter E "

E(x-4) a un expression simple quand x est entre 2 entiers qui se suivent et E(2x-1) quand x est entre 2 multiples successifs de 1/2 .

Soit donc p   .

.Si p  x < p + 1/2 on a 2p - 1  2x - 1 < 2p et p - 4  x - 4 < p- 3 donx f(x) = 2p - 1- (p - 4)= p + 3.

f(x) est donc nul si p = -3 donc si x  [-3 , -5/2[

.Si p + 1/2  x < p + 1 on a E(2x - 1) = 2p et E(x - 4) = p - 4 donc f(x) = p + 4 et f(x) = 0 si p = -4 donc si x  [-7/2 , -3[

On a donc f-1(0) = [-7/2 , -5/2[
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czbre : équation de parties entières  07-12-09 à 21:13
Je comprends votre raisonnement c'est bien trouvé ^^

Il y a juste une chose qui me chiffonne, c'est quand vous dites "E(x-4) a un expression simple quand x est entre 2 entiers qui se suivent et E(2x-1) quand x est entre 2 multiples successifs de 1/2" je ne vois pas trop pourquoi...
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czbre : équation de parties entières  07-12-09 à 22:40
s'il vous plait il faudrait juste m'expliquer ce petit détail 
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kybjmre : équation de parties entières  08-12-09 à 00:55
Reviens à la définition de E(.)

Soit x . Posons n = E(2x - 1)

 Tu as donc : n  2x - 1 < n + 1 donc  (n + 1)/2  x < (n + 2)/2 . Autre ment dit E(2x + 1) est constante sur [(n + 1)/2 , (n + 2)/2[ où elle vaut n.

Si tu avais E(px + q) ce sonr les k/p (k entier) qui interviendraient
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czbre : équation de parties entières  08-12-09 à 01:02
Certes mais ce que je ne comprends pas c'est comment vous pensez à choisir p tel que dans un cas x soit compris entre p et p+1/2 et dans l'autre x est compris entre p+1/2 et p+1...

Si p=E(x), alors px<p+1, donc comment justifiez-vous la disjonction de cas que vous effectuez en divisant l'intervalle en deux ? C'est ça que je ne comprends pas...pourquoi il y a-t-il deux cas?
  Posté par 
kybjmre : équation de parties entières  08-12-09 à 10:33

Pour faire sauter E il me faut une partition de  par des intervalles  dont les extremités sont dans (1/2).

{ Jk = [k/2 , (k + 1)/2[  | k  } est celle qui me convient .

Si k   et t  Jk que vaut E(t) ? La formule dépend de la parité de k  si k est pair c'est k/2 et sinon c'est (k - 1)/2