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Equation différentielle

Posté par
Suzu67 20-01-22 à 22:15

Bonjour a tous!
Bonne année à tous, je vous souhaite le meilleur pour cette année qui commence!

Je viens vers vous afin d'obtenir de l'aide sur ces exercices qui me semble bien coriace (mais c'est peut-être moi qui panique vu ma relation avec les maths)

Soit l'équation différentielle suivante:
y'=\frac{\ 1-t}{\ 1+y} (1a)
y(0)=0 (1b)

1.1 Solution analytique

On suppose que la solution prend la forme:
\sqrt{at²+bt+c}+d

Soit la fonction: V(t)=\sqrt{at²+bt+c}+d
Il s'agit de déterminer les valeurs des constantes a,b,c et d.

Question 1: Calculer V'(t)
Pour moi la réponse est:
V(t)=\sqrt{at²+bt+c}+d est strictement positive et dérivable sur l'intervalle ]0;+\infty [

V'(t)=\frac{2at+b}{2\sqrt{at²+bt+c}+d}
selon la relation (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}

Soit V'(t)=\frac{at+b}{\sqrt{at²+bt+c}+d}


Question 2: Montrer que l'équation (1a) peut être écrite sous la forme d'une relation de la forme:
(At+B)+(Ct+D)\sqrt{at²+bt+c}=0  (2)

Question 3: Déterminer, à l'aide de la condition initiale (1b), les valeurs de a,b,c et d

Indication: la relation (2) doit être identiquement nulle, on a donc à résoudre un système d'équations A=B=C=D=0

Je ne comprends rien à la question 2 et 3.
Pourriez-vous me mettre sur la voie s'il vous plaît?

Merci d'avance de votre aide et bonne journée à tous!

Posté par
LeHiboure : Equation différentielle 20-01-22 à 22:47

Bonjour,

Il y a deux erreurs dans ta dérivation de V(t) :
V'(t) =\frac{2at+b}{2\sqrt{at²+bt+c}}
Mais tu ne peux pas simplifier par 2, pour cela il eut fallu que tu aies 2at+2b au numérateur.
De plus, le +d qui est à l'extérieur de la racine ne soit pas se retrouver au dénominateur, il disparait purement et simplement dans la dérivation.

Posté par
LeHiboure : Equation différentielle 20-01-22 à 22:54

Ensuite, en reportant dans 1a), tu obtiens :
\frac{2at+b}{\sqrt{at²+bt+c}}=\frac{1-t}{1+\sqrt{at²+bt+c}+d}
A partir de là, produit en croix et regroupement des facteurs communs comme la racine.
Enfin, remarque que la condition Y(0) = 0 conduit à d=-\sqrt{c}

Posté par
Suzu67re : Equation différentielle 21-01-22 à 04:36

Bonjour et merci pour la réponse rapide!

Alors ok pour le produit en croix pour enlever la fraction.
J'obtiens ceci:
\\2at+b+\sqrt{at^{2}+bt+c}+d= (2-t)\sqrt{at^{2}+bt+c}\

Par contre, je ne vois pas comment arriver à une équation =0 vous avez parlé de factorisation et je ne vois pas comment faire même après avoir revu des cours.

Ai-je fais une erreur qui m'empêche de voir une solution?

Merci de votre patience

Posté par
Priamre : Equation différentielle 21-01-22 à 10:22

Bonjour,
Je te conseille de vérifier l'égalité que tu viens d'écrire (produit en croix).

Posté par
Suzu67re : Equation différentielle 21-01-22 à 10:25

Bonjour,

J'ai paniqué trop vite devant le monstre d'équation (je suis sûr qu'il y a pire mais pour moi c'est déjà pas mal).

En me reposant, j'ai vu qu'il fallait juste utiliser la relation:
Si A=B alors A-B=0

ça me donne ceci:
(2at+b)\sqrt{at²+bt+c}+d-(2-t)\sqrt{at²+bt+c}=0

Ensuite je factorise et obtiens:

\sqrt{at²+bt+c}((2at+b)-(2-t))+d=0

Suis-je sur la bonne voie? Y-a-t-il des fautes?
Merci d'avance, et en attendant une réponse bonne journée à tous

Posté par
Priamre : Equation différentielle 21-01-22 à 10:40

Quand on remplace, dans l'équation (1a)  y  et  y' , par  V(t) et V'(t), on obtient

(2at + b)/[2(at² + bt + c)] = (1 - t)/[1 + (at² + bt + c) + d] .

Es-tu d'accord ?

Posté par
Suzu67re : Equation différentielle 21-01-22 à 11:27

Bonjour Priam,

Oui je suis d'accord, et en faisant le produit en croix cela fait:

(2at+b)(1+\sqrt{at²+bt+c)}+d = (1-t)(2\sqrt{at²+bt+c)})

je peux simplifier le membre de droite:
(1-t)(2\sqrt{at²+bt+c}) \Leftrightarrow 2\sqrt{at²+bt+c}-2t\sqrt{at²+bt+c}

et donc pour le membre de droite (où il devait y avoir une erreur précédemment ) j'obtiens:
\sqrt{at²+bt+c}(2-2t)

Je remets mon membre de gauche (que je simplifie) et utilise la relation A=B donc A-B=0 et obtiens:

(2at+b)+(2at+b)\sqrt{at²+bt+c)}+d - \sqrt{at²+bt+c}(2-2t)=0

Soit

(4at+2b)\sqrt{at²+bt+c)}+d - \sqrt{at²+bt+c}(2-2t)=0

(2-2t) =0 donc je peux dire:

(4at+2b)\sqrt{at²+bt+c)}+d =0

Cela me semble faux mais je n'arrive pas à comprendre d'où vient l'erreur

Posté par
Priamre : Equation différentielle 21-01-22 à 12:35

Après la 1ère ligne, tu ferais mieux de regrouper tous les termes dans le premier membre, puis de mettre en facteur le radical (souviens-toi qu'il s'agit de mettre cette expression sous la forme indiquée au début de la question 2).

Posté par
carpediemre : Equation différentielle 22-01-22 à 09:27

salut

en s'imposant les conditions nécessaires :

y' = \dfrac {1 - t} {1 + y} \iff (y + 1)(y + 1)' = 1 - t \iff (y + 1)^2 = -(1 - t)^2 + k  avec k constante réelle à déterminer avec la condition y(0) = 0

la résolution par cette méthode te permettra de vérifier tes coefficients par la méthode proposée dans l'exercice ...

Posté par
Suzu67re : Equation différentielle 22-01-22 à 17:24

Bonjour à tous,

Merci à ceux qui prennent le temps de m'aider.

Après le message de Priam et après le boulot, j'ai réessayé.

Voici ce que j'ai fait en reprenant depuis la 1ère ligne.

(2at+b)(1+\sqrt{at²+bt+c}+d)=(1-t)(2\sqrt{at²+bt+c})

2at+2at\sqrt{at²+bt+c}+2atd+b+b\sqrt{at²+bt+c}+bd=2\sqrt{at²+bt+c}-2t\sqrt{at²+bt+c}

4at\sqrt{at²+bt+c}+2atd+2b\sqrt{at²+bt+c}+bd-(2-2t)\sqrt{at²+bt+c}=0

(2adt+bd)+[(4at+2b)-(2-2t)]\sqrt{at²+bt+c}=0

Ce qui donne:

(2adt+bd)+(4at+2b)\sqrt{at²+bt+c}=0

Cela à la forme voulu donc je pense ne pas mettre trompée mais quelqu'un peut-il vérifier pour une correction s'il vous plaît?

Carpe diem, merci pour ta réponse, je crois quelle concerne plus la question 3 non? Je me penche dessus là

Bonne soirée à tous

Posté par
Suzu67re : Equation différentielle 22-01-22 à 17:53

Carpe diem,

Je suis lourde, je sais, mais je ne comprends pas tes équivalences car quand j'ai essayé de les refaire je n'ai pas réussi.

Puis-je demander une petite explication s'il te plaît?

En attendant une réponse encore une fois bonne soirée

Posté par
carpediemre : Equation différentielle 22-01-22 à 18:11

je ne vérifierai pas tes calculs mais en admettant que la forme est correcte :

Suzu67 @ 22-01-2022 à 17:24

(2adt+bd)+(4at+2b)\sqrt{at²+bt+c}=0
elle correspondant bien à ce qui est demandé et alors cela est vrai pour tout t

en choisissant t = -1, 0, 1, 2  (ou 0, 1, 2, 3 , 4 sur R+) tu résous un système de quatre équations en les quatre inconnues a, b, c et d

une fois trouvées la solution on pourra vérifier avec ma méthode ...

PS : peut-être d'autres valeurs sont plus intéressantes que celles que j'ai proposées ...

Posté par
Priamre : Equation différentielle 22-01-22 à 19:01

Suzu67, je ne trouve pas tout-à-fait la même chose que toi à 17h24.
La 3ème ligne de ton calcul commence par  4at . Pourquoi "4" ?

Posté par
Razesre : Equation différentielle 22-01-22 à 21:09

Bonsoir,

Suzu67 @ 22-01-2022 à 17:24

2at+2at\sqrt{at^2+bt+c}+2atd+b+b\sqrt{at^2+bt+c}+bd=2\sqrt{at^2+bt+c}-2t\sqrt{at^2+bt+c}
Jusqu'à là, c'est correct. Posons:  D(t)=\sqrt{at^2+bt+c}

Tu obtient donc: (2(a+1)t+b-2)D(t)+(2at+b)(d+1)=0 , maintenant tu peux facilement trouver a,b,c,d (Utiliser aussi y(0)=0)

Posté par
Suzu67re : Equation différentielle 22-01-22 à 21:18

Bonsoir Priam,

J'avais fait
2at+2at\sqrt{at²+bt+c} = 4at\sqrt{at²+bt+c}

Mais en voulant aller trop vite je me rends compte que j'ai fait une erreur bête (encore)

Merci encore pour votre patience.
Je regarde si j'arrive à faire la question 3 grâce aux indications de carpe Diem et Razes.


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