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Equations dans les complexes

Posté par
Paulo62 07-09-09 à 17:32

Bonjour, je bloque complètement sur une équation :

((1-i*z)/(1+i*z))^n =(1-i*tan(a)/1+i*tan(a)))

J'ai pensé me ramener à une équation du type : Z^n =a avec a un complexe, j'ai déjà trouvé que (1-i*tan(a)/1+i*tan(a))) =exp(-2*i*a) sauf erreur de ma part.
Je suis donc à :
((1-i*z)/(1+i*z))^n =exp(-2*i*a)

Mais là, je ne sais pas comment faire?Changement de variable?

Merci pour votre aide

Posté par
raymond Correcteurre : Equations dans les complexes 07-09-09 à 17:36

Bonjour.

Oui. Ecris que Z = \fra{1-iz}{1+iz}

Posté par
Paulo62re : Equations dans les complexes 07-09-09 à 17:46

Ok cool c'est ce que j'avais posé mais bon j'arrive à une solution assez... lourde
En effet j'ai, z =((1-exp(-2*a+2*i*k*pi))/(1+exp(-2*a+2*i*k*pi))*(-i)   ?

Posté par
raymond Correcteurre : Equations dans les complexes 07-09-09 à 18:07

Tu as :

\fra{1-itan(a)}{1+itan(a)} \ = \ \fra{cos(a)-isin(a)}{cos(a)+isin(a)} = exp(-2ia)

Posté par
Paulo62re : Equations dans les complexes 07-09-09 à 18:13

Oui donc Z^n =exp(-2ia) donc les solutions sont : Z(k) =exp(-2a/n)exp(2ik*pi/n)

or Z(k) =(1-iz/1+iz) on a donc (1-iz/1+iz) =exp(-2a/n)exp(2ik*pi/n)
d'où z =((1-exp(-2*a+2*i*k*pi))/(1+exp(-2*a+2*i*k*pi))*(-i).

Est-cela?
Merci

Posté par
raymond Correcteurre : Equations dans les complexes 07-09-09 à 18:29

Tu peux arranger le résultat. Posons :

3$\textrm x = \fra{-a+k\pi}{n}

Alors :

3$\textrm z = i\times \fra{e^{2ix}-1}{e^{2ix}+1} = i\times \fra{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}

Les formules d'Euler te donneront un résultat simple.

Posté par
Paulo62re : Equations dans les complexes 07-09-09 à 18:47

Ce n'est pas plutôt -i *(reste) ?

Posté par
raymond Correcteurre : Equations dans les complexes 07-09-09 à 18:54

J'ai changé les signes du numérateur et j'ai multiplié haut et bas par i.

Posté par
Paulo62re : Equations dans les complexes 08-09-09 à 12:25

Merci beaucoup !

Aurevoir

Posté par
raymond Correcteurre : Equations dans les complexes 08-09-09 à 12:33

Bonne journée.


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