Niveau Maths sup

Equations-Trigo

Posté par
Fooooo 04-10-09 à 15:39

Bonjour,

J'ai résolu l'équation suivante : cos2x+cos3x=0
On me demande d'en déduire la valeur de cos(pi/5). Or pi/5 est solution de la 1ere équation, malgré cela je n'aboutis à rien. Le mieux que j'ai pu faire c'est arriver à cosx(4cos²x+2cosx-3)-1=0

Dans un autre exercice, je trouve deux solutions complexes sous leur forme algébrique.
z=sinx+i(cosx+1) et z=sinx-i(cosx+1)
Je dois trouver leur forme trigonométrique mais je ne vois pas. J'ai essayé de factoriser par le module mais rien. Des idées ?

Merci par avance.

Posté par re : Equations-Trigo 04-10-09 à 16:02

Bonjour, Fooooo

Pour le premier exercice, pose u= cos(x)
On a:
cos(2x)=2u²-1
cos(3x)=4u³-3u
Tu obtiens une équation du troisième degré dont cos(/5) est solution. Sachant que -1 est solution de cette équation, on peut calculer explicitement les deux autres solutions. l'une d'entre elles sera cos(/5).

Pour le deuxième exercice, il suffit de savoir que
sin x = 2 sin(x/2) cos(x2)
cos(x)+1 = 2 cos²(x/2)
cos(x)-1 = -2 sin²(x/2)

Posté par re : Equations-Trigo 04-10-09 à 16:34

Pour l'exercice 1, je ne vois pas trop comment résoudre une équation du 3e degré (je précise que je viens de rentrer en prepa).

Pour l'exercice 2 :
z=sinx+i(cosx+1)
<=>z=2sin(x/2)cos(x/2)+2icos(x/2)
<=>z=2cos(x/2)[sin(x/2)+icos(x/2)]
<=>z=2cos(x/2)[cos[(pi-x)/2)]+isin[(pi-x)/2]]
<=>z=2cos(x/2)e^i[(pi-x)/2]
C'est une forme trigo là ?

Posté par re : Equations-Trigo 04-10-09 à 18:38

Pour l'exercice 1:
J'ai précisé que -1 est solution de l'équation du troisième degré.
Il suffit donc de faire la division euclidienne du polynôme 4x³+2x²-3x-1 par x+1:
4x³+2x²-3x-1 = (x+1) (4x²-2x-1)

Pour l'exercice 2:
si cos(x/2) est positif, 2 cos(x/2) est bien le module de z (et (pi-x)/2 un de ses arguments).
si cos(x/2) est négatif, -2 cos(x/2) est le module de z (et (3pi-x)/2 un de ses arguments).