Tu dis que :

i) montrer H opère sur l'ensemble de façon simplement transitive

et

ii) montrer H opère sur l'ensemble de façon simplement transitive au moyen de

c'est la même chose!



Mais i), c'est équivalent à dire que est bijective.

Donc ii) aussi ??

Bon je vais méditer cela, je repasse plus tard!

Oui ii) est equivalent a montrer que ton fx est une bijection...ou est le souci? je dois avouer que je ne vois aps ce qui te gène depuis tout a l'heure...

Reprenons. Voici ou j'en suis :

Si est un groupe, un ensemble quelconque (non vide) et , on dit que l'application est l'application d'orbite de x.

Le "." c'est pas un produit au sens des réels, c'est juste une notation pour l'action.

Maintenant on va dire que le groupe opère sur l'ensemble de façon simplement transitive si l'application d'orbite est bijective.

Enfin, si on se donne un ensemble et un espace vectoriel, on dit que est un espace affine si le groupe opère de façon simplement transitive sur , au moyen de l'application



Bon on me dit de montrer que est un espace affine. Il faut donc que je trouve un groupe qui opère de façon simplement transitive sur , au moyen de l'application .

Selon toi, convient.

Il faut donc que je montre que ainsi définie opère de façon simplement transitive sur , au moyen de l'application .

Pour montrer cela, je voudrais revenir à la définition. Il faut donc que je montre que l'application que est bijective. Est-ce cela ?

Le "+" vient du fait que l'on a spécialiser l'action par un vrai "+".

?

Si j'arrive à montrer qu'il n'y a qu'une seule orbite (ie regarder la bijection de l'application ) ou regarder dans toutes les orbites (ie regarder la bijection de l'application ) c'est la même chose ?

Bonjour,
Bon pour ton "gros" message cela me semble correcte.

Ensuite montrer qu'il n'y a qu'une seule orbite n'est pas equivalent à montrer que f_x est bijective (j'ai l'impression que toute ces notations fort complexes d'ailleurs, tu les sors d'ou?, t'embrouillent l'esprit). Tu a une application f_x pour chaque point x de ton ensemble x, plus rpecisement pour chaque orbite en fait, mais oublions ça deux minutes.

Tu dis montrer qu'il n'y a qu'une seule orbite ou regarder dans toutes les orbites...si tu montre qu'il n'y en a qu'un, tu ne peux pas "regarder dans toutes les orbites"

Comme je te dit essaie de montrer que ton opération est transitive dans un premier temps (on montrera la fidélité ensuite) c'est à dire qu'il n'y a qu'une seule orbite.

Reprenons les notations : et .

Alors pour montrer que l'action de sur est transitive, il faut montrer qu'il n'y a qu'une seule orbite ie tel que .

Mais dans la définition de l'espace affine, on spécialise l'action "." par un vrai "+". Donc cela revient à montrer qu'on peut écrire où .

Comme , on a .
Et comme aussi, on a .

On peut donc bien trouver un \Large R\in E tel que puisqu'alors .

L'action est donc bien transitive.

Heu oui...enfin tu dis on peut trouver R...peut etre faudrait il l'exhiber??

on prend ?

Exact!!

Bon maintenant il faut que tu montres que l'action est fidèle, si P est dans A, h dans E, est ce que tu peux avoir h+P=P

ok, donc l'action est bien transitive! il n'y a donc qu'une seule orbite.

Et maintenat ?

Fidèle ?

Ben oui fidèle...ue action simplement transitive est par définition fidèle et transitive...

En gors, action transitive = surjective et action fidèle = injective, puis action simplement transitive = bijective ??

Non...c'est pas vraiment ça...

Bon enfin peu importe comme tu l'appelle ce qu'il faut c'est resoudre h+P=P, ou P est un point de l'orbite.

ok, mais on a donc qu'un groupe G opère sur un ensemble X de façon simplement transitive si l'action est libre et transitive.

Il faut donc que je montre que l'application est injective ?

Tiens tant que j'y suis voila un recapitultif des notions sur les actions sur un ensemble discret.

Soit G opérant sur S.

On dit que G opére transitivement si il n'y a qu'une seule orbite <=> il existe s dans S tel que G.s=S <=> pour tout s dans S, G.s=S

On dit que G opère fidèlement si l'intersection des stabilisateurs de tous les elements de S est triviale <=> le morphisme de G dans Bij(S) est injectif <=> Si g est tel que pour tout s dans S, g.s=s, alors g=1

On dit que G opère librement si pour tout g de G pour tout S de s, g.s=s =>g=1.

On dit que G opére simplement si l'action de G est transitive et fidèle, et simplement librement si elle libre et transitive. Si G est abélien il y a équivalence entre les deux notions.

Toute ces demonstrations (les equivalences entres les definitions et la dernière propriété) sont tres simples (2 lignes max pour chacunes), si tu veux verifier que tu as compris fais les.

Oui montre que f_x est injective mais c'est aussi montrer que h+P=P implique h=0...O tourne un peu en rond

Pourquoi ?

Ben montrer que c'est injectif c'est bien prouver que f_x(g)=f_x(h) implique g=h soit encore g.x=h.x implique g=h, soit encore h^{-1}g.x=x implique h^{-1}g=1. Donc au final c'est bien equivalent a montrer que g.x=x implique g=1

(Je te conseille d'eviter la notation f_x, que personne n'utilise de toute façon, note plutot g.x c'est beaucoup plus visuel et facile à comprendre a mon humble avis, et en fait tres souvent on omet meme le point et on note juste gx pour g.x)

Euh, j'ai rien saisi!

L'action de G sur X est libre lorsque pour tout , l'application d'orbite de x est injective, voici ma définition.

Donc est-ce que ?

On a , non ?

Oui...

Donc c'est fini ?

Oui

Merci.

Dernière chose, en ce qui concerne un élément et la direction ?

Un element (T-a)+b et la direction c'est par definition H.

Pour la direction, c'est bien ce que je me disait. Par contre, pour l'élément, tu le trouves comment ?

Ben il vaut b en a...

Bon merci pour tout Rodrigo!!