Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Espace vertoriel euclidien

Posté par
gbm Webmaster 18-03-09 à 18:03

Bonjour, je suis plongé dans un problème d'algèbre et je me retrouve face à quelques problèmes. Voici l'énoncé.
En est l'espace des polynômes à coefficients réels de degré n (n).
On appelle coefficient dominant d'un polynôme, le coefficient duu monôme de plus haut degré de ce polynôme.
On note = - à +exp(-x2/2) P(x)Q(x) dx (P et Q sont des polynômes quelconques).

1. Montrer que pour tout P et Q l'intégrale converge.
Montrer que est un produit scalaire sur En.
2. On pose So = 1
et n1, 3$Sn(x)=e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^{(n)}}{dx^n}(e^{\frac{-x^2}{2}})

a. Montrer que , Sn+1=S'n -XSn. En déduire par récurrence que Sn est un polynôme de degré n de coefficient dominant (-1)n

b. On veut prouver que (i,j)2 , ij, i,Sj> = 0
Au moyen d'une intégration par parties, prouver que,
si i>j>0, i ,Sj> = - i-1 ,S'j>.
Réitérer le processus et conclure.
__________________________________________________________________________________________________
Ce que j'ai fait :
1. Par croissances comparées, on montre facilement que l'intégrale converge.
Pour montrer que c'est un produit scalaire, on se ramène à la définition et il n'y a pas trop de problème.

2. a. J'ai voulu dériver Sn mais je n'aboutis pas à grand chose...
En déduire par récurrence (je ne vois pas).
b. ?
___________________________________________________________________________________________________
Merci à ceux et celles qui pourront m'aider

Posté par
Marc35re : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 18:13

Bonjour,
J'ai réussi à montrer  Sn+1 = S'n - x Sn...
Pour la récurrence, je regarde...

Posté par
gbm Webmasterre : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 18:51

merci, j'ai essayé de dériver Sn sauf que je n'arrive pas à avoir deux termes distincts....

Posté par
MatheuxMatoure : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 18:54

Bonsoir

Sn(x) est un produit.... dérive comme un produit

et la dérivée de la dérivée n-ième, c'est la dérivée (n+1)-ième

MM

Posté par
MatheuxMatoure : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 18:59

ensuite, la récurrence est immédiate :

S0 est un polynôme (S0=1)

et si Sn est un polynôme, alors S'n aussi (la dérivée d'un polynôme en est un) et XSn aussi (produit de deux polynôme... donc S(n+1) aussi (somme de deux polynômes)... ce qui achève la récurrence

Posté par
jandri Correcteurre : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 19:05

Bonjour gbm,

Pour le 2a il suffit de dériver Sn (dérivée d'un produit).
La démonstration par récurrence est facile: si Sn a pour terme dominant (-x)n alors Sn+1 a pour terme dominant (-x)n+1.

Pour le 2b, dans l'intégrale de 3$\frac{d^{(i)}}{dx^i}(e^{\frac{-x^2}{2}})S_j(x) on intègre 3$\frac{d^{(i)}}{dx^i}(e^{\frac{-x^2}{2}}) et on dérive S_j(x).

Posté par
MatheuxMatoure : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 19:09

Ah oui, j'avais oublié le coup des coefficients dominants dans ma récurrence... cela ne pose pas de problème, mais quand même.

Merci Jandri

Posté par
gbm Webmasterre : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 19:14

Merci pour le
2.a j'ai honte je voulais montrer la relation à partir
de Sn+1 (au lieu de dériver...)

En revanche, je suis désolé d'être long à la détente mais je n'ai pas compris comment procéder...

Posté par
gbm Webmasterre : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 19:15

... pour la 2.b

Posté par
Marc35re : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 19:24

C'est relativement simple...
S^'_n\,=\,x\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,\frac{d^n}{dx^n}(e^{-\frac{x^2}{2})\,+\,e^{-\frac{x^2}{2}}}\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}(e^{-\frac{x^2}{2})
S^'_n\,=\,x\,S_n\,+\,S_{n+1}
d'où la relation...

Posté par
gbm Webmasterre : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 19:27

Merci Marc 35 (j'avais fini par réussir cette partie)
Ce qui me pose pb est cette récurrence (même si elle semble simple)

Et surtout la 2.b

Posté par
gbm Webmasterre : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 19:55

help....

Posté par
Marc35re : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 20:11

S_0(x)\,=\,e^{\frac{x^2}{2}}\,e^{-\,\frac{x^2}{2}}\,=\,1\,=\,(-1)^0\,x^0
S_1(x)\,=\,e^{\frac{x^2}{2}}\,\frac{d}{dx}(e^{-\,\frac{x^2}{2}})\,=\,-x\,=\,(-1)^1\,x^1
S_2(x)\,=\,e^{\frac{x^2}{2}}\,\frac{d^2}{dx^2}(e^{-\,\frac{x^2}{2}})\,=\,x^2-1\,=\,(-1)^2x^2\,-\,1
On l'admet pour n
Pour Sn(x), c'est un polynôme de degré n et le coefficient dominant est (-1)n
Pour Sn+1(x)
Sn+1 = S'n - x Sn
Si le terme dominant de Sn est (-1)nxn, le terme dominant de S'n sera (-1)n n xn-1
Donc le terme dominant de Sn+1 sera  -x (-1)n xn = -(-1)n xn+1 = (-1)n+1 xn+1
Donc Sn+1 est bien un polynôme de degré n+1 et de coefficient dominant (-1)n+1

Posté par
gbm Webmasterre : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 20:28

Merci Marc, j'avais fini par réussir la petit récurrence (d'un côté, cela me permet de vérifirer le raisonnement).

Seule chose, je n'ai pas compris ce qu'on m'a expliqué pour la 2.b
Pourrais-tu m'éclaircir sur ce point stp

Posté par
jandri Correcteurre : Espace vertoriel euclidien 18-03-09 à 21:51

Pour la 2b l'énoncé dit ce qu'il faut faire:
écrire 3$<S_i,S_j>=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d^{(i)}}{dx^i}(e^{\frac{-x^2}{2}})S_j(x)dx et faire une intégration par parties en intégrant la dérivée i-ème et en dérivant S_j.

Posté par
gbm Webmasterre : Espace vertoriel euclidien 20-03-09 à 14:25

merci beaucoup


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !