Bonjour, je suis plongé dans un problème d'algèbre et je me retrouve face à quelques problèmes. Voici l'énoncé.
En est l'espace des polynômes à coefficients réels de degré n (n).
On appelle coefficient dominant d'un polynôme, le coefficient duu monôme de plus haut degré de ce polynôme.
On note
= - à +exp(-x2/2) P(x)Q(x) dx (P et Q sont des polynômes quelconques).
1. Montrer que pour tout P et Q l'intégrale converge.
Montrer que
est un produit scalaire sur En.
2. On pose So = 1
et n1,
a. Montrer que , Sn+1=S'n -XSn. En déduire par récurrence que Sn est un polynôme de degré n de coefficient dominant (-1)n
b. On veut prouver que (i,j)2 , ij, i,Sj> = 0
Au moyen d'une intégration par parties, prouver que,
si i>j>0, i ,Sj> = - i-1 ,S'j>.
Réitérer le processus et conclure.
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Ce que j'ai fait :
1. Par croissances comparées, on montre facilement que l'intégrale converge.
Pour montrer que c'est un produit scalaire, on se ramène à la définition et il n'y a pas trop de problème.
2. a. J'ai voulu dériver Sn mais je n'aboutis pas à grand chose...
En déduire par récurrence (je ne vois pas).
b. ?
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Merci à ceux et celles qui pourront m'aider
Bonsoir
Sn(x) est un produit.... dérive comme un produit
et la dérivée de la dérivée n-ième, c'est la dérivée (n+1)-ième
MM
ensuite, la récurrence est immédiate :
S0 est un polynôme (S0=1)
et si Sn est un polynôme, alors S'n aussi (la dérivée d'un polynôme en est un) et XSn aussi (produit de deux polynôme... donc S(n+1) aussi (somme de deux polynômes)... ce qui achève la récurrence
Bonjour gbm,
Pour le 2a il suffit de dériver Sn (dérivée d'un produit).
La démonstration par récurrence est facile: si Sn a pour terme dominant (-x)n alors Sn+1 a pour terme dominant (-x)n+1.
Pour le 2b, dans l'intégrale de on intègre et on dérive .
Ah oui, j'avais oublié le coup des coefficients dominants dans ma récurrence... cela ne pose pas de problème, mais quand même.
Merci Jandri
Merci pour le
2.a j'ai honte je voulais montrer la relation à partir
de Sn+1 (au lieu de dériver...)
En revanche, je suis désolé d'être long à la détente mais je n'ai pas compris comment procéder...
Merci Marc 35 (j'avais fini par réussir cette partie)
Ce qui me pose pb est cette récurrence (même si elle semble simple)
Et surtout la 2.b
On l'admet pour n
Pour Sn(x), c'est un polynôme de degré n et le coefficient dominant est (-1)n
Pour Sn+1(x)
Sn+1 = S'n - x Sn
Si le terme dominant de Sn est (-1)nxn, le terme dominant de S'n sera (-1)n n xn-1
Donc le terme dominant de Sn+1 sera -x (-1)n xn = -(-1)n xn+1 = (-1)n+1 xn+1
Donc Sn+1 est bien un polynôme de degré n+1 et de coefficient dominant (-1)n+1
Merci Marc, j'avais fini par réussir la petit récurrence (d'un côté, cela me permet de vérifirer le raisonnement).
Seule chose, je n'ai pas compris ce qu'on m'a expliqué pour la 2.b
Pourrais-tu m'éclaircir sur ce point stp
Pour la 2b l'énoncé dit ce qu'il faut faire:
écrire et faire une intégration par parties en intégrant la dérivée i-ème et en dérivant .
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