Tu commences par remarquer qu'il existe Y T tel que m(X \ Y) = 0 et tel que pour tout n > 0 et tout x de Y on a |f_n(x)| 1 .

Prends un réel t > 0 et pose  A(t) = { x Y | |f(x)| 1 + t }.
   Soit maintenant n * . A(t) est contenu dans B(n) = { x Y| | g_n(x)|   t } puisque |f_n| 1 sur Y .  Par ailleurs on a : 1/n |g_n|dm _B(n) |g_n|dm   tm(B(n)) donc m(A) 1/nt .
Ceci étant valable pour tout n > 0 on a : m(A(t)) = 0 .
On  donc montré que " t > 0 , m(A(t)) = 0 " donc en particulier  " n m(A(2^-n)) = 0 "

Cema entraine que m(_nA(2^-n)) = 0 .
Sur _n X \A(2^-n) on a donc |f| 1 + 2^-n pour tout n donc |f| 1 (m-pp) donc f Lrond et N(f) 1.

Remarque : J'utilise Lrond car je ne sais par faire les L ronds avec le LATEX . La notation l(E) est prise pour désigner les applications bornées de E dans ou (l() est noté l tout court). Plus généralement si p est un réel   1 , l_p(E) désigne l'ensemble des applications u de E dans (ou ) telles que |u|^p  soit sommable .

Un grand merci a toi kybjm.