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Niveau Master
espérance conditionnelle : est ce vrai?
Posté par karatetiger
Bonjour est ce que cette affirmation est vraie?
Soit X une variable aléatoire et G une sous tribu de F et X est G-mesurable
E[X|G]=X
bonsoir
c'est quoi X|G ????
et comment une espérance peut-elle être égale à une variable aléatoire ???
disons que tout cela manque de définition précise !
qui plus est, E(...) = X est un non-sens il me semble
ce que tu note X|G est une nouvelle VA ? elle est définie comment à partir de X et de G ?
Bonsoir à tous les deux
Sur l'espérance conditionnelle, voir 
Il s'agit bien d'une variable aléatoire, en dépit de la notation et de la terminologie, plutôt troublantes en effet.
Je ne suis pas spécialiste, mais il n'y a aucune raison pour qu'en général E[X|G] = X, car sinon, la définition de l'espérance conditionnelle n'aurait pas d'intérêt.
merci Frenicle...
E(X|G) est une variable aléatoire !!!! tu parles d'une notation !
je ne vois aucune raison valable pour que ce soit =X...
sinon, comme tu dis, quel intérêt !
mm
>MM
eh oui !
>karatetiger
Apparemment, tu as raison, il me semble résulter du th. d'approximation cité dans wikipedia, on a E[X|G] = X p.s. si X est G mesurable.
Ah cela me ferait plaisir car j'ai résolu un exercice comme cela l'exercice est montrer que si X et Y sont G-mesurable alors
E[XE[Y|G]]=E[YE[X|G]]
donc moi j'ai dit E[XE[Y|G]]=E[XY] car Y G-mesurable
=E[Yx] CAR COMMUtative
=E[YE[X|G]] car X est G-mesurable
donc maintenant, avec une définition précise de la chose, je dirais oui, effectivement, quand X est G-mesurable, on a bien Z=X (avec les notations de wiki...)
mm
moi non plus ne suis pas spécialiste de la chose
mais ton raisonnement parait se tenir Kara
à confirmer par quelqu'un qui s'y connait mieux que moi
mm
E(.|G) (ou EG ) se lit espérence conditionnelle par rapport à G.
E(X|G) n'est définie que pour X mesurable qui est à valeurs dans 
+ ou bien telle que l'une au moins de X+ et X- est intégrable.
J'expliqe : Soient E un ensemble , T une tribu de parties de E , P une probabilité sur T et S une soue tribu de T.
L'ensemble M(S) formé des applications de E dans qui sont S-Boréliens mesurables est contenu dans M(T) l'ensemble des applications de E dans qui sont S-Boréliens mesurables .
On a donc L2(E,S,P) 
L2(E,T,P) (Ce sont des L-droits càd des classes de fonctions mesurables de carré intégrable).
L2(E,S,P) étant complet on dipose de la projection orthogonale p de L2(E,T,P) sur L2(E,S,P).
Soit F L2(E,T,P). G = p(F) est caractérisée par " 
H 
L2(E,S,P) on a : <F - G , H> = 0 (càd 
FHdP = GHdP)"
Si f M2(T) (càd f M(T) et |f|2dP < +
)il existe donc des g dans M2(S) telles que fhdP = ghdP . Toutes ces g là sont P-presque partout (presque sûrement) égales.
Il se trouve que l'on peut prolonger ce qui vient d'être fait : On démontre que pour toute f de M+(T) l'ensemble ges g M+(S) qui vérifient
" h M+(S), fhdP = ghdP " est non vide et que ses éléments sont P-ps égaux. Il est noté E(f|S) ou, mieux ES(f)
Après il faut voir
si la condition " h...." peut être affaiblie
quelles sont les proprétés de l'application ES
comment on travaille avec
quels rapports il y a avec les anciennes espérances conditionnelles
......