Niveau Maths sup

Etude d'une fonction cos(2x)-cos(3x) sur R

Posté par
ptitanou91 11-09-08 à 19:02

Bonjour
je n'arrive pas à trouver les solutions de cos(2x)> cos(3x) sur R :
J'ai étudié la fonction sous la forme f(x)=cos(2x)-cos(3x)
J'ai calculer la dérivée f'(x) = sinx(12cos²x-4cosx-3); obtenu après simplification
Puis étudié le signe de la dérivée sans trouver de solutions exactes, je les ai donc notées x₁ et x₂.
De plus j'ai démontré que f(x) est paire et 2 - périodique.
Mais là encore je coince puisque je m'aide de valeurs inconues lorsque la fonction f s'annule.
Je trouve le signe de f(x) sur ]O; [ mais après je n'arrive pas sur R
je m'emmèle avec les 2k ... Merci de m'aider ...

Posté par Etude d'une fonction cos(2x)-cos(3x) sur R 11-09-08 à 20:53

Bonsoir.

Tu sais que cos(2x) = 2cos²(x) - 1 et cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x)

Donc, en posant cos(x) = X, l'inéquation cos(2x) - cos(3x) > 0 se ramène à :

- 4X³ + 2X² + 3X - 1 > 0

Tu remarqueras que ce polynôme admet 1 pour racine.

Posté par re : Etude d'une fonction cos(2x)-cos(3x) sur R 12-09-08 à 18:46

euh, oui mais comment fait on après pour trouver les solutions ??
je sais résoudre les équations/inéquations du second degré mais du troisième ... non !
Pourrais je avoir plus d'information ?

P.S.: cet exercice était un exercice de DM que j'ai rendu aujourd'hui, je veux donc savoir la solution, tout de même .

Merci...

Posté par re : Etude d'une fonction cos(2x)-cos(3x) sur R 12-09-08 à 19:30

Bonsoir,

Raymond t'a donné la solution ; puisque 1 est une racine de P(x) = -4x³+2x²+3x-1 cela implique qu'on peut écrire P(x) sous la forme (x-1).Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré immédiatement inférieur à celui de P(x), donc du second degré. Tu dois donc chercher des réels a, b et c tels que
P(x) = (x-1).(a.x²+b.x+c)
Après tu résolveras ton équation du second degré