Niveau école ingénieur

Etude en l'infinie

Posté par
Sayco 19-01-10 à 14:08

Bonjour,

Je cherche la limite en -/+ inf:

( (x²-x+1)e^Arctanx ) / (x²+1)^0,5

Remarque: Je n'ai pas su faire la racine carré, voilà pourquoi j'ai mis l'exposant 0,5.

Merci

Voici mon skype: ***
édit Océane

Posté par re : Etude en l'infinie 19-01-10 à 14:24

Salut !

Avec les mains : arctan est bornée, donc exp(arctan) aussi, donc il reste à voir la limite du quotient sans l'exponentielle ; vue qu'au numérateur ton monôme de plus haut degré est de degré 2 et qu'au dénominateur il est de degré 1, le numérateur l'emporte, et tu tends vers l'infini des deux côtés.

Si tu veux être plus clean :
$\forall x \in \mathbb{R}, \frac{-\pi}{2}\leq arctan(x) \leq \frac{\pi}{2}$ donc tu encadres l'exponentielle entre deux constantes positives, et il ne te reste plus qu'à étudier proprement le quotient.

Posté par re : Etude en l'infinie 19-01-10 à 14:24

Bonjour

Pour x tendant vers $+\infty$
$e^{\arctan(x)}$ tend vers $e^{\pi/2}$

$\Large \frac{x^2-x+1}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x^2$1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$

La limite est donc $+\infty$