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Euh c'est complètement faux ça!
De plus, c'est f²(x) dans Ker(f²+id) qu'il faut montrer, je ne sais jamais qui est f et qui est g 
La fatigue arrive je suis désolé.
On sait que f(x) appartient à ker(f^2+id)
on doit aboutir à (f^2+id)(f^2(x))=0
Voilà, et cela revient à montrer que f^4(x) + f²(x) = 0.
Or f^3(x) + f(x) = 0, donc c'est bon en composant à gauche par f! 
Si si, c'est juste que je répondais à d'autres posts en même temps et que j'avais un peu de mal avec les notations!
Non surtout pas!Tu vas t'attirer les foudres des modérateurs, si tu continues!
JE regarde, mais je vais bientôt me déconnecter.
Bon tu n'avais pas réussi à conclure apparemment.
On part de a e'2 + b f(e'2) = 0.Il faut prouver que a et b sont nuls.
Si b était non nul, f'(e2) pourrait s'exprimer en fonction de e'2, donc -a/b serait une valeur propre de f, associée à un vecteur de F.Or ceci est impossible d'après la partie 3, puisque f et g coïncident sur F.
Donc b = 0 et il reste a.e'2 = 0 qui entraîne, e'2 étant non nul, a = 0.
Ainsi (e'2,e'3) est une base de F.
b) il faut utiliser le th de la base incomplète
Pour cela il suffit de montrer que (e'1,e'2,e'3) est libre non ?
Mais alors quelle est la forme de la matrice A' dans cette base ?
Je suis désolé et bien embêté pour cette ultime question. Malheureusement je vais devoir abandonner l'ordinateur. Une petite indication pour le b) avant de partis svp ?
Encore une fois merci pour tout ce temps consacré. C'est bien la première fois que cela m'arrive...
Comme G est de dimension 1 et que e'1 en est un vecteur non nul, il en constitue une base.
Enfin, F et G étant en somme directe dans E, toute "réunion" de leurs bases est une base de E.
Ainsi (e'1,e'2,e'3) est une base de E.
Dans cette base, l'écriture de la matrice dépend uniquement des images de ces vecteurs par f.
Or f'(e1) = 0 puisque e'1 est dans Ker f, f(e'2) = e'3 ,
et enfin f(e'3) est dans F (puisque F est stable par f) donc s'écrit ae'2 + be'3.
Comme f²(e'3) = -e'3, on en déduit par linéarité: af(e'2) + bf'(e3) = -e3, puis en remplaçant f(e'2) par e'3 et f(e'3) par ae'2 + be'3 et en identifiant le résultat avec -e'3, il vient a = -1 et b = 0, c'est-à-dire:
f(e'3) = -e'2.
Conclusion: f a pour matrice dans cette nouvelle base:
A' =
0 0 0
0 0 -1
0 1 0
A et A' sont semblables.
Mais avec plaisir!
Non inutile d'utiliser le théorème de la base incomplète ici, les vecteurs sont connus et il faut montrer leur liberté directement.Le théorème de la base incomplète ne s'utilise que pour démontrer l'existence d'une famille de vecteurs, sans les définir de manière explicite.
Un petit exercice d'entraînement (bien classique) sur les sommes directes:
montrer l'équivalence entre Ker f = Ker f², Im f = Im f² et Ker f est en somme directe avec Im f,
où f : E -> E est un endomorphisme avec E espace de dimension finie.
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