Mes réponses :
1) f^3+f=0 <=> f°(f^2+Id_E)=0
=> f^2+Id_E Kerf.
Comme f est injectif <=> Kerf={0}
=> f^2+Id_E=0
<=> f^2=-Id_E

Comment avoir le déterminant ?

2)a) hypothèse: Kerf et Ker(f^2+Id_E) sont supplémentaires.
Donc Kerf Ker(f^2+Id_E)={0}
=> f)(f^2+Id_E)=0
<=> f^3+f=0

2)b) Là ça se gâte ...
hypothèse : f^3+f=0 <=> f°(f^2+Id_E)=0
=> f^2+Id_EKerf

De même fKer(f^2+Id_E)
???
Merci de m'éclaircir

Bonjour,

1) Si f est injectif de E dans E de dimension n, alors f est bijectif, donc en composant à gauche l'égalité par , on obtient directement le résultat.

Que vaut le déterminant de -id ?Conclus.

2)a)Montre que la relation cherchée est vraie dans chacun de ces deux espaces supplémentaires, puis conclus.
b)Si cette relation est vraie alors pour tout x, f²(x) + x est dans Ker(f).

Déduis-en que Kerf et Ker(f²+Id) ont une intersection nulle, puis écris pour tout x que:

x =( f²(x) + x ) - f²(x) et prouve que chacun de ces deux termes est dans les sous-espaces en question, ce qui prouvera qu'ils sont bien supplémentaires.

Bonsoir, j'ai un soucis avec cette exercice :
E est un espace vectoriel de sur R de dim n
f est un endomorphisme non nul de E.

On suppose n=3 et f³+f=0. On note F=Ker (f²+Id_E).
Montrer que
a) f est non injectif.
b) dim(Kerf)=1 ou 2.
c) F est stable par f (on note g l'endomorphisme induit par f sur F).
d) g²= -Id_F et en déduire que dim F=2.
e) g n'a aucune valeur propre réelle.

*** message déplacé ***

J'ai posté avant d'avoir lu tes réponses.Attention dans la question 2a, je ne vois pas comment tu en déduis que

Tu es censé poster ceci au même endroit que ton précédent exercice!Ca s'appelle du multipost sinon!

*** message déplacé ***

Mes réponses :
a) f^3+f=0 <=> f(f^2+IdE)=0
=> f^2+IdE Kerf <=> Kerf{0} <=> f non injectif.

b) ?

c) F= sous espace vectoriel de E.
j'ai montré que fKer(f^2 +IdE)
donc (f^2+IdE)(f)=f^3+f=0 F par hypothèse.

d) ?
e) ?

Merci d'avance pour votre aide éventuelle.

*** message déplacé ***

Bonsoir, Tigweg, je ne pense pas puisque ces parties sont indépendantes.
Donc n'a en théorie aucun rapport avec l'autre topic... (sauf erreur de ma part).

*** message déplacé ***

Rebonsoir gbm;

en fait je pense que oui, car par exemple la réponse à la question 1 de ce post est une conséquence directe de la réponse à la question 1 de l'autre fil

*** message déplacé ***

D'accord je veux bien continuer sur l'autre...

*** message déplacé ***

On suppose n=3 et f3+f=0. On note F=Ker (f2+IdE).
Montrer que
a) f est non injectif.
b) dim(Kerf)=1 ou 2.
c) F est stable par f (on note g l'endomorphisme induit par f sur F).
d) g2= -IdF et en déduire que dim F=2.
e) g n'a aucune valeur propre réelle.

OK, commençons par la première partie si tu veux bien.
As-tu vu mes réponses?

1) ok
En revanche cela va paraître bête mais je ne trouve pas le déterminant.

2)a)ok je vais le faire.
b) là je n'ai pas compris..

2a) -id a pour matrice la matrice qui s'écrit avec seulement des -1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs, donc son déterminant vaut ?

Je suppose que si le déterminant de la matrice identité vaut 1
alors le déterminant de -IdE vaut (-1)ⁿ ?

mais alors que vaut le déterminant de f?
2)a)?
b)

det(f²)=(det(f)²  tu en déduis immédiatement que si  n  est impair alors  f  n'est pas bijective (puisque les carrés de R sont rarement strictement négatifs)

2a) Le déterminant de -id vaut (-1)^n, oui, et celui de f² vaut (det f)², qui est positif...donc comment doit être n?

2b)Tu peux me tutoyer! Deux sous-espaces sont supplémentaires si leur intersection est réduite à 0 et si tout x peut s'écrire comme somme d'éléments qui sont chacun dans un des deux Ker.

La citation que tu donnes prouvera le deuxième point.Commence donc par le premier (intersection réduite à 0).

1) Il faut donc que n soit pair pour que le carré soit positif.
2) a) G= Kerf et F=Ker (f^2+IdE)
GF = {0} => fo(f^2+IdE)=0 <=> f^3+f=0

b) Soit xE
Comme f^3+f=0 je peux montrer que f(x)F
et f²(x)+xG.
Comment montrer que leur intersection est nulle?

Pour la suite,
On suppose n=3 et f3+f=0. On note F=Ker (f2+IdE).
Montrer que
a) f est non injectif.
b) dim(Kerf)=1 ou 2.
c) F est stable par f (on note g l'endomorphisme induit par f sur F).
d) g2= -IdF et en déduire que dim F=2.
e) g n'a aucune valeur propre réelle.

a) c'est comme tu me l'a dit c'est une conséquence du 1)
n=3 <=> n impair donc f n'est pas bijectif donc pas injectif.
b) Je n'en ai aucune idée...

Alors je ne comprends toujours pas ta réponse du 2a) :

en quoi le fait que F et G ne se rencontrent qu'en 0 implique-t-il pour toi que f0(f²+id)=0?
Je ne vois pas ton argument (mais je t'ai donné une marche à suivre dans ma première réponse).

Pour la quesstion 1, quelles sont les possibilités pour det(f) lorsque n est pair?

Pour la 2b), on considère x dans l'intersection de Ker f et de Ker (f²+Id) et prouver que x = 0 , ok?

Que signifient ces deux conditions?


Pour la partie IIa), n=3 n'est pas équivalent à n impair, mais n=3 entraîne que n est impair, et on conclut que n est non injectif d'après I1).



II b) Déjà dim(Ker f) vaut 0, 1,2 ou 3 puisque Ker f est un sev d'un espace de dimension 3.Si sa dimension était nulle, f serait surjective d'après le théorème du rang, donc injective, contradiction.

Si sa dimension valait 3, Ker f serait confondu avec E, donc que serait f? Contradiction

1)a) det(f)= ((-1)^n) pour n pair non ?
2)a)
je voulais dire que si GF={0}
=> la composée de f et f^2+IdE est nulle ?

1) Déjà (-1)^n vaut 1 pour n pair, ensuite la racine carrée de 1 fait 1, et enfin ce n'est pas la seule possibilité, -1 aussi a pour carré 1! Il y a donc deux possibilités si n est pair: det(f) vaut 1 ou -1.

2a)Je ne comprends toujours pas ton argument : pourquoi si F et G sont supplémentaires, alors la composée de f et de f²+id est-elle nulle?Tu dois le démontrer, l'affirmer est insuffisant.

J'avoue que la notion de deux sev supplémentaires me posent pb pour poser l'exercice même si je connait la définition...

Je suis désolé je vais aller dîner ... Je reviens après si vous êtes tjs là .

Ok, bon appétit!Si je ne suis plus là, quelqu'un prendra certainement la relève!

Sinon encore une fois, pour la question 2a, montre que pour tout x de Ker f, on a f^3(x)+f(x) = 0 (c'est pas bien méchant!), et idem si x est dans Ker(f²+id) , puis conclus en te rappelant que tout x de E est la somme d'un élément de chacun de ces deux espaces!

Le prototype d'une somme directe, c'est un plan de l'espace usuel et une droite qui ne lui est pas parallèle, se coupant en l'origine O du repère.

Ca te permet de décomposer tous les vecteurs en une somme de vecteurs qui vivent chacun dans un espace plus simple, et de dire que la décomposition est unique, exactement pour la même raison que les coordonnées de tout vecteur sont uniques dans une base donnée.

D'accord, je vais reprendre
2) a et b demain...
3) a) f n'est pas injectif ok
b) dim(kerf)=1 ou 2 ok
c) F=ker(f^2+Id)
F est un sous-ev de E
Je t'ai montré avant que f(x)F
donc (f^2+Id)of= f^3+f=0 F par hypothèse car f est non vide donc
donc F est stable par f , non ?

d) Comment montrer que g^2= -IdF ? (g endomorphisme induit par f sur F)
e) par déf u0, f(u)=u
mais comment montrer que les valeurs propres de g ne sont pas réelles ?

Encore une fois merci.

4)n=3 et E est rapporté à B(e1,e2,e3).
f est un endomorphisme de E tel que f^3+f=0
A est la matrice de f relative à B.
On considère le vecteur e'1 non nul de Kerf, et un vecteur e'2 de Ker(f^2+IdE) et on pose
e'3=f(e'2).
a) Montrer que la famille (e'2,e'3) est libre.
b) Montrer que la famille (e'1,e'2,e'3) est une base de E.
Ecrire la matrice A' de f dans cette base.
c) Que dire de A et A'.

Voilà et la fin est à ma portée .

c)OK en remplaçant f par F à la fin

d)g et f coïncident sur F, et pour x dans F on a par définition f²(x) = -x , donc pareil pour g, ce qui signifie bien que g² = -id sur F.Comme F est de dimension 1 ou 2 et que F et G sont en somme directe, G a aussi pour dimension 2 ou 1.

Si dim(G) valait 1, alors sa matrice serait un réel, donc g² aurait pour matrice le carré de ce réel, qui ne pourrait en aucun cas valoir -1.Ainsi g² serait deifférent de -id, contradiction et dim(G)=2.

e)Même chose ou presque : pour toute valeur propre a de g, il existe x non nul dans G vérifiant g(x) = a.x, donc g²(x) = a².x = -x puisque g² = -id. Donc a² = -1 ce qui entraîne que a n'est pas réel.


Avant de passer à la question 4, je préférerais en finir avec la question 2, non?

c) hourra! une réponse de juste .

Oui je suis ok pour reprendre le 2) si vous avez encore un peu de temps à me consacrer pour la suite.

c)

Reprenons donc!

2a) Suis mon indication pendant que je mange à mon tour, je verrai ce que tu as posté ensuite

Au fait, ta réponse à la question c) était juste dans ses intentions, mais tout de même pas très bien rédigée:

-déjà, inutile de dire que F est non vide, un espace vectoriel ne l'est jamais!

-ensuite, tu veux montrer une inclusion (f(F) est inclus dans F), sois bien précis et rigoureux:

pour tout x de F, il faut montrer que f(x) est encore dans F. Dis ce que signifie x dans F, puis utilise ton argument pour en déduire que (f²+id)(f(x)) = 0, donc que f(x) est dans Ker (f²+id), donc dans F, et conclus.

2)a) pour tout x appartenant à Ker f, on a par définition
f(x)=0
f^3(x)= (fofof)(x)
= (fof)(f(x))
= (fof)(0)
= f(f(0))
=f(0)
=0
d'où (f^3 + f)(x)=0

De même, x Ker(f^2+Id), on a par définition
(f^2+Id)(x) = 0 <=> f^2(x) + x =0
(fo(f^2+Id))(x)= f( (f^2+Id)(x) )
= f(0)
=0
x est la somme de deux elements appartenant à deux espaces , donc ......... ?

J' ai oublier de préciser que dans un endomorphisme de E dans E,
f(0_E)=0_E

comment conclure ...

Tu n'y es pas.Ecris ce que tu sais, et ce que tu veux prouver:


On considère x dans l'intersection de Ker f et de Ker(f²+id).
On veut prouver qu'alors x=0.


Que signifient les deux conditions qu'on a posées sur x?

Réponds précisément, et ne réponds qu'à cela s'il-te-plaît.

2)a)Dire que x ker f et ker (f^2+Id)
signifie sue x appartitient à kerf et x appartient à ker(f^2+Id)
- dire que f kerf
<=> f(x)=0

-dire que fker(f^2+Id)
<=> f^2(x)+x = 0

Jusque-là je pense qu'on est d'accord ...
Mais après ?

Parfait! Il faut en déduire que x = 0. Or d'après ta deuxième égalité, tu peux exprimer x en fonction de f²(x).

Ta première égalité te renseigne sur f(x), donc sur f²(x)...Et donc sur x !

2)b)
on repart de x= f^2(x)+x-f^2(x= pour montrer qu'ils sont supplémentaires ?

4)n=3 et E est rapporté à B(e1,e2,e3).
f est un endomorphisme de E tel que f^3+f=0
A est la matrice de f relative à B.
On considère le vecteur e'1 non nul de Kerf, et un vecteur e'2 de Ker(f^2+IdE) et on pose
e'3=f(e'2).
a) Montrer que la famille (e'2,e'3) est libre.
b) Montrer que la famille (e'1,e'2,e'3) est une base de E.
Ecrire la matrice A' de f dans cette base.
c) Que dire de A et A'.


4)a) e'3= f(e'2)
or e'2 Ker(f^2+Id)
donc f^2(e'2) + e'2 = 0

soit a et b E
tel que A e'2 + B e'3 =0
<=> Ae'2 + Bf(e'2) = 0

b)on doit supposer que (e'2,e'3) libre
Faut-il utiliser le th de la base incomplète ?

A' ???

c)

Ouh là là, tu n'as pas compris les règles du forum décidément...

Normalement, tu n'as pas le droit de poster plusieurs fois les mêmes questions, là encore c'est du multi-post.

Finissons, s'il-te-plaît, ce que nous sommes en train de faire.

Et d'un, arrives-tu à conclure pour l'intersection nulle du 2b)?

Et de deux,

2) a) ok !

Non loin de moi l'envie de faire du multipost,
c'est juste pour rappeler le 4) et vous éviter de le retrouver avant .

2)b)On veut montrer que F et G sont supplémentaires.
Par hypothèse,f^3 + f=0
f(x)ker(f^2+Id)
f^2(x)+x ker(f).

Soit u= f(x) + f^2(x)+x
C'est de là qu'on doit partir

Oui, j'avais compris que ça partait d'une bonne intention, mais les règles du forum sont néanmoins très strictes sur ce qui peut être assimilé à du multi-post.

Donc, pour en revenir à ce qui nous intéresse, est-ce que tu arrives à prouver que (x-f²(x)) est dans G?

Aïe on a posté en même temps et en plus j'ai écrit une bêtise, tu as raison c'est plutôt x = (f²(x) + x) - f²(x) la bonne décomposition.

Dans ce que tu as écrit juste avant, je retiens une chose : (f²(x) + x) est dans G = Ker f.

Reste donc à prouver que f²(x) (et donc son opposé) est dans G, et on aura gagné, tu es d'accord?

(1) f^2(x)+x = 0 <=> f^2(x) = -x
(2) f(x)=0 => f^2(x)=0

De (1) et (2) on tire
-x=0 donc x=0

c'est pour 2)a)

Ok, c'est juste.Et la preuve que f²(x) est dans G?

f^2(x) est dans G=Ker(f)
car f²(x)= f(f(x))=f(0)=0

son opposé également non ?