Bonjour,

Pour cela, on munit la plan du repère (O;vecteur OI; vecteur OJ)
1)a) Justfier l'existence de deux réels a et b tels que: /vec{OA}=a /vec{OI} et /vec{OB}=b /vec{OJ}
b)Donner les coordonnées des points A,A',B,B' et K.
c)Exprimer en fonction de a et b les coordonnées des vecteurs AB',BA' et OK .

1) a) Je suppose que c'est a et b 2 réels? Tu as écrit 2 poinst...

Ensuite moi, je fais la figure avec O en bas à gauche et I à droite de O.

Ainsi on a le repère orthonormé habituel avec axe des abscisses horizontal en bas et axe des ordonnées vertical à gauche (pour des x et y positifs). Non???

b)

A(a;0)
A'(a;1) car A' a même abscisse que A et est projeté sur J en ordonnée.
B(0;b)-->abscisse=0 et ordonnée =b par l'énoncé.
B'(1;b)-->abscisse =1 car se projette en I et ordonnée de B.
K(1;1)

c)

AB'(xB'-xA;yB'-yA) soit AB'(1-a;b) : tu fais pareil pour les autres et tu as:

BA'(a;1-b)

OK(1;1) car O(0;0)

2)a) Montrer que "(AB')et (A'B) parallèles" équivaut à "a+b=1" et qu'alors (AB') et (A'B) sont parallèles à (OK).

2 vect u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires  si x/x'=y/y'donc dans ce cas les droites qui les portent sont //.

Pour (AB') et (A'B) cela donne :

(1-a)/a=b/(1-b)-->prouduit en croix , tu développes, etc et tu as :

a+b=1

2) b) tu choisis a et b de sorte que a+b=1

J'envoie.

3)a)Trouver une équation cartésienne des droites (OK), (A'B) et (AB').
b) On suppose que (AB') et (A'B) sont sécantes en P.
Prouver que P est sur (OK).


Une équation cartésienne de droite est de la forme mx+py+c=0.

La forme : y=qx+r est appelée "éqaution réduite".

Je rappelle les coordonnées des points :
A(a;0)-B(0;b)-A'(a;1)- B'(1;b)

Je rappelle les coordonnées des vecteurs :

AB'(1-a;b) et BA'(a;1-b)

Soit M(x;y) un point de la droite (AB').

Vect AM(x-a;y-0) soit AM(x-a;y)

vect AM et AB' sont coli car sur la même droite. On applique :

2 vect u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires  si x/x'=y/y'

(x-a)/(1-a)=y/b-->produit en croix.

Equa de (AB') : bx+(1-a)y-ab=0

Même technique pour droite (BA') .

vect BM(x;b-y) .

vect BM et BA' sont coli donc :

x/a=(b-y)/(1-b) qui donne :

Equa de (BA') 1-b)x+ay-ab=0

La droite (OK) a pour équation réduite : y=x car elle passe par l'origine et le point K(1;1) ce qui donne pour  :

équa cartésienne de (OK) : x-y=0.

Donc P est sur (OK) si xP=yP.

Il doit y avoir une technique pour montrer que P est sur (OK) sans calculer les coordonnées de P. mais je ne vois pas laquelle, désolé.

Car calculer les coordonnées de P, intersec de (AB') et (BA') , ce n'est pas du gâteau!!

A+

Personne ne surait comment calculer les coordonnées de P?
Merci

Mais pour la question 1) a) tu n'a pas donné la réponse !