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exercice sur l'algebre lineaire

Posté par
carl7 17-05-08 à 00:27

bonsoir à tous.

Dnc, je trouve du mal avec l'exercice suivant:

Soit A une matrice de Mn(C) telle que tr(A^m) tend vers 0 quand m tend vers l'infini.
Montrer que toutes les valeurs propres de A sont de module <1.


Donc j'ai trigonaliser la matrice A, en notant a_1,.....,a_n ses valeurs propres.

J'ai supposé que a_1,a_2,....a_r sont de module>=1 et j'ai traité les 2 cas suivants:
si les modules de a_1,a_2,....a_r ne sont pas tous egaux, i.e |a_1|<=|a_2|<=....<=|a_(r-1)|<|a_r|

alors on a par l'inegalité triangulaire que
en |a_r|^m -|a_1^m +a_2^m+...+a_(r-1)^m+a_(r+1)^m+...+a_n^m|<=|a_1^m +a_2^m+...+a_n^m| et on a une contradiction par passage a la limite quand m--->l'infini

je n'arrive pas a conclure si les modules de a_1 ....a_r sont tous egaux.


merci

Posté par
carl7re : exercice sur l'algebre lineaire 17-05-08 à 11:37

hello..... personne pour repondre???

Posté par
Nightmarere : exercice sur l'algebre lineaire 17-05-08 à 11:42

Salut

Le polynôme caractéristique de A est scindé sur C.
On note 3$\rm \lambda_{1},...,\lambda_{n} les valeurs propres de A, ordonnées de la façon suivante :
3$\rm \rho(A)=|\lambda_{1}|=...=|\lambda_{N}|>|\lambda_{N+1}|\ge...\ge |\lambda_{n}|

On a 3$\rm tr(A^{k})=\Bigsum_{i} \lambda_{i}^{k}

Supposons que le rayon spectral soit supérieur à 1.

Pour tout k non nul, 3$\rm \frac{tr(A^{k})}{(\rho(A))^{k}}\le tr(A^{k})
On en déduit 3$\rm \frac{tr(A^{k})}{(\rho(A))^{k}}\longrightarrow_{k\infty} 0

ie :
3$\rm \Bigsum_{i} \(\frac{\lambda_{i}}{\rho(A)}\)^{k}\longrightarrow_{k\infty} 0

Or puisque 3$\rm \forall k\ge N+1 , 3$\rm \frac{|\lambda_{k}|}{\rho(A)}<1
nous avons 3$\rm \Bigsum_{i=N+1}^{n} \(\frac{\lambda_{i}^{k}}{\rho(A)}\)^{k}\longrightarrow_{k\infty} 0

On peut montrer qu'il existe une extractrice 3$\rm \sigma telle que 3$\rm \Bigsum_{i=1}^{N} \(\frac{\lambda_{i}}{\rho(A)}\)^{\sigma(k)}\longrightarrow_{k\infty} N
Et alors :
3$\rm \Bigsum_{i=1}^{n} \(\frac{\lambda_{i}}{\rho(A)}\)^{k} \longrightarrow_{k\infty} N\no=0. Contradiction.

Le rayon spectral est donc inférieur à 1, ie : les valeurs propres sont toutes dans le disque unité.

Posté par
Nightmarere : exercice sur l'algebre lineaire 17-05-08 à 11:44

La preuve de l'existence de l'extractrice n'est pas très simple, je l'avais postée en défi, j'essaye de retrouver le lien.

Posté par
Nightmarere : exercice sur l'algebre lineaire 17-05-08 à 11:45

La voici

Posté par
robby3re : exercice sur l'algebre lineaire 17-05-08 à 11:49

Bonjour,
j'essaye un truc...
je tente de montrer que
Tr(A^m)\rightarrow 0 => A^m\rightarrow 0 et ça va amener un truc sur les modules:


on suppose que Tr(A^m) tend vers 0 en +\infty,
le polynome caarctéristique P_A est donc scindé sur C(car C est algébriqument clos)
soit a_i les vp de A rangées telles que:
p(A)=|a_1|=...|a_n|>|a_{N+1}|\ge...\ge|a_n|

on a \rm \forall m\in N^*, tr(A^m)=\Bigsum_{i=1}^n a_i^m \\
on raisonne comme tu l'a fais, par l'absurde:
Je suppose que p(A)\ge 1.
Comme \forall m\in N^*:
\frac{tr(A^m)}{(p(A))^m}\le tr(A^m)
on en déduit que \frac{tr(A^m)}{(p(A))^m}\rightarrow 0
donc que:
\Bigsum_{i=1}^n\(\frac{a_i}{p(A)}\)^m \rightarrow 0
comme \forall i\in \{N+1,...,n\}, \frac{|a_i|}{p(A)}<1
on a:
\Bigsum_{i=N+1}^n \(\frac{a_i}{p(A)}\)^m \rightarrow 0

en utilisant de maniere détourné le fait que E=\{diag(z_1,...,z_n): (z_1,...,z_n)\in U^N\} est fermé bornée dans M_N(C) donc complet...

il existe \alpha(m) tel que:
\rm \Bigsum_{i=1}^N \(\frac{a_i}{p(A)}\)^{\alpha(m)}\rightarrow N (quand m tend vers +\infty)
Alors:
\Bigsum_{i=1}^n \(\frac{a_i}{p(A)}\)^{m} \rightarrow N\neq 0, contradiction...
D'ou p(A)<1 et donc A^m\rightarrow 0(en plus )

j'avoue ça semble tordu...si quelqu'un pouvait vérifier que je me sois pas planté...

Posté par
robby3re : exercice sur l'algebre lineaire 17-05-08 à 11:50

autant pour moi Nightmare!!!
j'avais pas vu!
c'est la meme preuve...

Posté par
Nightmarere : exercice sur l'algebre lineaire 17-05-08 à 11:54

Salut robby3

Effectivement!

Posté par
carl7re : exercice sur l'algebre lineaire 17-05-08 à 20:33

bonsoir.

je veux simplement savoir comment on obtient l'existence de l'extractrice, parceque les valeurs propres sont fixés.
merci

Posté par
robby3re : exercice sur l'algebre lineaire 18-05-08 à 00:22

dans le lien donné par Nightmare à 11h45.


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