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exercice sur le produit vectoriel

Posté par
mini-loup 17-06-08 à 08:40

Bonjour à tous,
j'ai un exercice sur le produit vectoriel que je n'arrive pas à faire, voici l'énoncé:
montrer que dans E3, si (,) est libre, orthogonal de(^)=vect(,) et orthogonal de orthogonal de =vect(vectu[/smb]^)
Quelle est l'intersection des plans d'equation ax+by+cz=0 et a'x+b'y+c'z=0 ds une base orthonormée?
merci d'avance pour votre aide

Posté par
orelore : exercice sur le produit vectoriel 17-06-08 à 09:09

Bonjour,

Si \vec{u} et \vec{v} sont non colinéaires, donc libres, alors (\vec{u},\vec{v},\vec{u}\vec{v}) est une base orthogonale de E3

ensuite si tu as établi que si F sous espace vectoriel de E3 alors:

E3=F\bigoplus F^\perp

la suite est logique, ou alors j'ai zappé quelques chose

Posté par
lafol Moderateurre : exercice sur le produit vectoriel 17-06-08 à 09:09

Bonjour
le produit vectoriel est orthogonal à la fois à u et à v, donc dans l'orthogonal du produit vectoriel, on trouve u et v. comme la famille est libre, ils engendrent un espace de dimension 2 : on ne peut rien avoir d'autre.

Posté par
orelore : exercice sur le produit vectoriel 17-06-08 à 09:21

pour ce qui est de l'intersection de 2 plans sécants:

\vec{n}=(a,b,c) est un vecteur normal au plan P1

\vec{n'}=(a',b',c') est un vecteur normal au plan P2

or l'intersection de 2 plans est une droite, disons dirigée par \vec{u}

(\vec{n},\vec{n'},\vec{n}\vec{n'}) est une base orthogonale de E

donc \vec{u}=p\vec{n}+q\vec{n'}+r\vec{n}\vec{n'}

or \vec{u}.\vec{n}=0 et \vec{u}.\vec{n'}=0 car par définition le vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

donc: \vec{u}=r\vec{n}\vec{n'}

P1P2 est dirigé par \vec{n}\vec{n'}

il suffit de connaître un point commun aux 2 plans, ici c'est l'origine le plus évident

Posté par
orelore : exercice sur le produit vectoriel 17-06-08 à 09:22

comment fait-on le produit vectoriel en latex ? je m'y suis mis depuis peu, je ne maîtrise pas bien les écritures encore...

Posté par
orelore : exercice sur le produit vectoriel 17-06-08 à 09:26

petite erreur...

(\vec{n},\vec{n'},\vec{n}\vec{n'}) n'est pas une base orthogonale mais juste une base, ce qui fait que ça bloque à un endroit... à revoir...

Posté par
orelore : exercice sur le produit vectoriel 17-06-08 à 09:31

je dirais donc:

(\vec{n},\vec{n}\vec{n'}) est une base de P2 car ils sont libres et orthogonaux à \vec{n}

(\vec{n'},\vec{n}\vec{n'}) est une base de P1 car ils sont libres et orthogonaux à \vec{n'}

donc

(\vec{n}\vec{n'})\vec{D}

Posté par
lafol Moderateurre : exercice sur le produit vectoriel 17-06-08 à 09:41

\wedge donne \wedge

Posté par
orelore : exercice sur le produit vectoriel 17-06-08 à 09:48

merci, pourtant je l'ai cherché sur le pdf Symbols je le trouvais pas...

est- ce qu'il y a d'autres documents indispensables pour le latex ou est-ce qu'il y a tout là dedans ? (pour faire des trucs de base)

c'est long au début de tout écrire, les copier/coller... faut roder

Posté par
lafol Moderateurre : exercice sur le produit vectoriel 17-06-08 à 11:56

je ne connais pas le quart de ce qu'il y a la dedans ....
pour les trucs de base c'est amplement suffisant !
après, j'ai math type 4 qui permet de convertir des formules word améliorées en code latex : c'est ce que j'utilise quand je n'y arrive pas toute seule


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