Bonsoir à tous.
Voici mon problème:
Soient b et c des entiers relatifs qui vérifient b²-4c <0.
On considère le polynome P(X)=X²-bX+c et on désigne par et
barre (conjugué de
) ses racines (complexes conjuguées).
On note indice
l'ensemble des nombres complexes de la forme p+q*
où p et q décrivent l'ensemble
.
De même, on considère indice
barre ={p+q*
barre ,(p,q)
²}.
Pas de problème pour les questions 1,2(a),2(b)et 4(a).
Pour les autres questions j'aurais besoin de votre aide.
1)Rappeler la valeur de +
barre et
*
barre.
OK(les réponses respectives sont b et c).
2)a)Montrer que indice
est un sous-anneau de
,muni de ses opérations usuelles.
OK
2)b)Montrer que l'ensemble G indice des éléments de
indice
dont l'inverse appartient aussi à
indice
est un groupe pour la loi
.
OK
3)a)Montrer que indice
barre=
indice
.
3)b)Pour z=p+q*,montrer que z=0 si et seulement si p=q=0.
Soit l'application f:zindice
(module de z au carré)
.
4)a)Vérifier que pour z=p+q*,(p,q)
², on a f(z)=p²+bpq+cq².
OK
4)b)Montrer que pour tout zG indice
,f(z)=1.
4)c)En déduire que, pour z=p+q*G indice
,on a 0
q²(4c-b²)
4.
5)Vérifier que, pour tout n ,il existe k
tel que n²=4k ou n²=4k+1.
6)En discutant suivant les valeurs possibles de b²-4c,déterminer les éléments du groupe G indice.(On distinguera les cas 4c-b²>4,4c-b²=4 et 0<4c-b²<4).
Merci d'avance pour votre aide.
N'hésitez pas à me répondre jusqu'à tard dans la nuit (jusqu'à environ 1 H du matin).Sinon tant pis.Merci
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