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Niveau Maths sup
exo dur
Posté par djibril1515 (invité)
Bonjour, g eu cet exo en DS ce matin, pourriez vous me le résoudre :
Soit E un ensemble, A et B des parties de E. On suppose que E\B contient au moins deux éléments. P(E) désigne l'ensemble des parties de E. Si X est une partie de E, X(barre) désigne le complémentaire de X dans E. On se propose de montrer que :
(
X
P(E),((B
X)
(B
X))
(AX))(AB) égalité (1)
1) Faire une démonstration par preuve directe de (1)
2)a) Ecrire la contraposée de (1)
b) En supposant la véracité de 
(AB), prouver l'existence d'un élément a de A qui n'est pas dans B
c) En considérant la partie ensemble(a)(barre), conclure la démonstration par contraposition
Merci d'avance
Bonsoir djibril1515;
1) Preuve directe:
soient deux éléments distincts de
( existent par hypothèse )
posons
on a bien et
donc vu qu'on a supposé que l'implication: est vraie pour tout
on a que
et par conséquent
CQFD
Posté par biondo (invité)re : exo dur
Devant tant d'insistance...
On fait ce qui est demande:
2a/ Ecrire la contraposee. Apparemment ton prof note avec un la negation d'une assertion. Soit:
(A B) ( il existe une partie X de E telle que: BX, BX et (AX))
2b/ assez evident: la negation de A inclus dans B, c'est "A n'est pas inclus dans B".; Donc on peut trouver un element de A qui n'est pas dans B. On l'appelle a.
2c/ Comme par hasard:
Ba(barre) (je te laisse verifier)
Ba(barre) (pareil)
A n'est pas inclus dans a(barre) (sinon ca se saurait)
Ca me parait bon...
A+
biondo