Bonjour, je bloque sur cet exercice qui est : Irrationnalité du nombre e
Pour tout entier naturel, n1, on note :
Q1) Calculer I1
Est-ce qu'il faut calculer une primitive de l'intégrale (de ) ?
Q2) n est un nombre entier naturel tel que n 1.
a) Démontrer que pour tout réel x de [0;1], xnexn.
b) En déduire que :
Q3) A l'aide de la méthode d'intégration par parties démontrer que pour tout entier naturel n1 : .
Merci d'avance pour l'aide !
Donc on a : I1= ? Mais là il faut calculer une primitive non ? Parce que sinon on ne peut pas avoir de résultat ?
Tu y tiens aux ; ici
Le principe est de faire baisser le degré du polynôme.
Plutôt poser et
Mais de toute manière, qui ne tente rien n'a rien : il faut essayer...
Remarque que l'intégrande est positive sur
Donc et ne peut pas être négative comme tu le trouves.
Dès le départ, il y a quelque chose qui ne va pas :
Au résultat j'ai donc seulement : e
J'ai donc bien e-2, j'ai oublié les parenthèses pour la troisième ligne qui transforme le - en + entre 1 et 0
J'ai corrigé ce que j'avais écrit au dessus.
On travaille sur l'intervalle d'intégration
donc
(en utilisant la croissance de la fonction exponentielle).
et finalement (en multipliant par )
La seconde ligne est bizarre : finalement tu as écrit que
Le reste, ça va.
N'abuse pas des équivalences. Ici les implications suffisent.
Je ne comprends pas bien ta question mais en tout état de cause, un théorème du cours stipule que :
si et sont des fonctions continues sur telles que :
sur , , alors :
Ici, tu as sur :
Il suffit d'appliquer en intégrant l'inégalité sur
D'accord, j'ai donc cette égalité, mais il y a aux bornes de In, 1/n+1 et e/n+1 et je n'ai pas compris comment on passe de cette égalité (avec les intégrales) à ?
Je crois t'en avoir déjà beaucoup dit; les intégrales de chaque côté, il faut les calculer.
Ce n'est pas difficile ...
Bonjour,
Il s'agit de calculer
Tu sais faire.
Et
Il suffit de multiplier la précédente par qui est une constante.
Pour la première, tu peux commencer par chercher une primitive de la fonction
Elle figure certainement dans un tableau de primitives dont tu as eu connaissance.
Oui m'enfin bref le résultat est
Et avec la remarque de 11h37, l'autre intégrale (à droite) vaut
Tu as donc vaillamment prouvé que pour tout :
Bien que ce ne soit pas explicitement demandé, tu peux en déduire (avec les gendarmes) que :
Un résultat qui aura certainement son utilité pour la suite ...
Si tu veux mais il est inutile de "recalculer" (il suffit de multiplier celle de gauche par )
et remarque que :
Oui merci pour ces réponses ! Je fais exprès d'écrire chaque étape pour bien comprendre ce qui se simplifie
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